Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99997 / 99492
↖ ↑ ↗
← S 67.780180°
E 94.649964°		 ← 115.48 m → S 67.780180°
E 94.652710°		 →
↑
115.51 m
↓
↑
115.51 m
↓
S 67.781219°
E 94.649964°		 ← 115.47 m →
13 338 m²		 S 67.781219°
E 94.652710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762920379638672 y=0.759067535400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762920379638672 × 217)
    floor (0.762920379638672 × 131072)
    floor (99997.5)     		tx = 99997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759067535400391 × 217)
    floor (0.759067535400391 × 131072)
    floor (99492.5)     		ty = 99492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99997 / 99492 ti = "17/99997/99492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99997/99492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99997 ÷ 217
    99997 ÷ 131072     		x = 0.762916564941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99492 ÷ 217
    99492 ÷ 131072     		y = 0.759063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762916564941406 × 2 - 1) × π
    0.525833129882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.65195350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.51812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62774536349863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65195350} λ = 1.65195350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62774536349863))-π/2
    2×atan(0.196371822463713)-π/2
    2×0.193904505975357-π/2
    0.387809011950713-1.57079632675     		φ = -1.18298731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65195350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.649964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18298731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.780180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99997 KachelY 99492 1.65195350 -1.18298731 94.649964 -67.780180
    Oben rechts KachelX + 1 99998 KachelY 99492 1.65200143 -1.18298731 94.652710 -67.780180
    Unten links KachelX 99997 KachelY + 1 99493 1.65195350 -1.18300544 94.649964 -67.781219
    Unten rechts KachelX + 1 99998 KachelY + 1 99493 1.65200143 -1.18300544 94.652710 -67.781219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18298731--1.18300544) × R
    1.81300000001716e-05 × 6371000     		dl = 115.506230001093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18298731--1.18300544) × R
    1.81300000001716e-05 × 6371000     		dr = 115.506230001093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65195350-1.65200143) × cos(-1.18298731) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378161043998795 × 6371000     		do = 115.476024062462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65195350-1.65200143) × cos(-1.18300544) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378144260273606 × 6371000     		du = 115.470898950067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18298731)-sin(-1.18300544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378161043998795-0.378144260273606)×R²
    abs(1.65200143-1.65195350)×1.67837251885405e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67837251885405e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67837251885405e-05×40589641000000     		ar = 13337.9042040197m²