Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99997 / 101741
↖ ↑ ↗
← S 70.002749°
E 94.649964°		 ← 104.43 m → S 70.002749°
E 94.652710°		 →
↑
104.48 m
↓
↑
104.48 m
↓
S 70.003688°
E 94.649964°		 ← 104.42 m →
10 911 m²		 S 70.003688°
E 94.652710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762920379638672 y=0.776226043701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762920379638672 × 217)
    floor (0.762920379638672 × 131072)
    floor (99997.5)     		tx = 99997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776226043701172 × 217)
    floor (0.776226043701172 × 131072)
    floor (101741.5)     		ty = 101741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99997 / 101741 ti = "17/99997/101741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99997/101741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99997 ÷ 217
    99997 ÷ 131072     		x = 0.762916564941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101741 ÷ 217
    101741 ÷ 131072     		y = 0.776222229003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762916564941406 × 2 - 1) × π
    0.525833129882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.65195350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776222229003906 × 2 - 1) × π
    -0.552444458007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.73555545074413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65195350} λ = 1.65195350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73555545074413))-π/2
    2×atan(0.176302245870771)-π/2
    2×0.17450893610689-π/2
    0.34901787221378-1.57079632675     		φ = -1.22177845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65195350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.649964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22177845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.002749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99997 KachelY 101741 1.65195350 -1.22177845 94.649964 -70.002749
    Oben rechts KachelX + 1 99998 KachelY 101741 1.65200143 -1.22177845 94.652710 -70.002749
    Unten links KachelX 99997 KachelY + 1 101742 1.65195350 -1.22179485 94.649964 -70.003688
    Unten rechts KachelX + 1 99998 KachelY + 1 101742 1.65200143 -1.22179485 94.652710 -70.003688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22177845--1.22179485) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dl = 104.484400000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22177845--1.22179485) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dr = 104.484400000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65195350-1.65200143) × cos(-1.22177845) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34197506249047 × 6371000     		do = 104.426199291531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65195350-1.65200143) × cos(-1.22179485) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341959651216428 × 6371000     		du = 104.421493273604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22177845)-sin(-1.22179485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34197506249047-0.341959651216428)×R²
    abs(1.65200143-1.65195350)×1.54112740414769e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54112740414769e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54112740414769e-05×40589641000000     		ar = 10910.6629248597m²