Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99996 / 101739
↖ ↑ ↗
← S 70.000871°
E 94.647217°		 ← 104.46 m → S 70.000871°
E 94.649964°		 →
↑
104.42 m
↓
↑
104.42 m
↓
S 70.001810°
E 94.647217°		 ← 104.45 m →
10 907 m²		 S 70.001810°
E 94.649964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762912750244141 y=0.776210784912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762912750244141 × 217)
    floor (0.762912750244141 × 131072)
    floor (99996.5)     		tx = 99996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776210784912109 × 217)
    floor (0.776210784912109 × 131072)
    floor (101739.5)     		ty = 101739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99996 / 101739 ti = "17/99996/101739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99996/101739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99996 ÷ 217
    99996 ÷ 131072     		x = 0.762908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101739 ÷ 217
    101739 ÷ 131072     		y = 0.776206970214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762908935546875 × 2 - 1) × π
    0.52581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65190556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776206970214844 × 2 - 1) × π
    -0.552413940429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.73545957694489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65190556} λ = 1.65190556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73545957694489))-π/2
    2×atan(0.176319149447189)-π/2
    2×0.174525330069407-π/2
    0.349050660138815-1.57079632675     		φ = -1.22174567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65190556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.647217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22174567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.000871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99996 KachelY 101739 1.65190556 -1.22174567 94.647217 -70.000871
    Oben rechts KachelX + 1 99997 KachelY 101739 1.65195350 -1.22174567 94.649964 -70.000871
    Unten links KachelX 99996 KachelY + 1 101740 1.65190556 -1.22176206 94.647217 -70.001810
    Unten rechts KachelX + 1 99997 KachelY + 1 101740 1.65195350 -1.22176206 94.649964 -70.001810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22174567--1.22176206) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dl = 104.420690000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22174567--1.22176206) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dr = 104.420690000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65190556-1.65195350) × cos(-1.22174567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342005865968659 × 6371000     		do = 104.45739469775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65190556-1.65195350) × cos(-1.22176206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341990464275499 × 6371000     		du = 104.452690624219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22174567)-sin(-1.22176206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342005865968659-0.341990464275499)×R²
    abs(1.65195350-1.65190556)×1.54016931601109e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54016931601109e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54016931601109e-05×40589641000000     		ar = 10907.2676288144m²