Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99995 / 101737
↖ ↑ ↗
← S 69.998992°
E 94.644470°		 ← 104.47 m → S 69.998992°
E 94.647217°		 →
↑
104.42 m
↓
↑
104.42 m
↓
S 69.999931°
E 94.644470°		 ← 104.46 m →
10 908 m²		 S 69.999931°
E 94.647217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762905120849609 y=0.776195526123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762905120849609 × 217)
    floor (0.762905120849609 × 131072)
    floor (99995.5)     		tx = 99995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776195526123047 × 217)
    floor (0.776195526123047 × 131072)
    floor (101737.5)     		ty = 101737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99995 / 101737 ti = "17/99995/101737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99995/101737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99995 ÷ 217
    99995 ÷ 131072     		x = 0.762901306152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101737 ÷ 217
    101737 ÷ 131072     		y = 0.776191711425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762901306152344 × 2 - 1) × π
    0.525802612304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.65185762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776191711425781 × 2 - 1) × π
    -0.552383422851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.73536370314565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65185762} λ = 1.65185762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73536370314565))-π/2
    2×atan(0.176336054644295)-π/2
    2×0.174541725508963-π/2
    0.349083451017925-1.57079632675     		φ = -1.22171288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65185762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.644470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22171288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.998992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99995 KachelY 101737 1.65185762 -1.22171288 94.644470 -69.998992
    Oben rechts KachelX + 1 99996 KachelY 101737 1.65190556 -1.22171288 94.647217 -69.998992
    Unten links KachelX 99995 KachelY + 1 101738 1.65185762 -1.22172927 94.644470 -69.999931
    Unten rechts KachelX + 1 99996 KachelY + 1 101738 1.65190556 -1.22172927 94.647217 -69.999931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22171288--1.22172927) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dl = 104.420690000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22171288--1.22172927) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dr = 104.420690000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65185762-1.65190556) × cos(-1.22171288) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.34203667847622 × 6371000     		do = 104.466805631157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65185762-1.65190556) × cos(-1.22172927) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.342021276966868 × 6371000     		du = 104.462101613766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22171288)-sin(-1.22172927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34203667847622-0.342021276966868)×R²
    abs(1.65190556-1.65185762)×1.54015093524196e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.54015093524196e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.54015093524196e-05×40589641000000     		ar = 10908.2503280558m²