Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99994 / 101778
↖ ↑ ↗
← S 70.037473°
E 94.641724°		 ← 104.25 m → S 70.037473°
E 94.644470°		 →
↑
104.23 m
↓
↑
104.23 m
↓
S 70.038410°
E 94.641724°		 ← 104.25 m →
10 866 m²		 S 70.038410°
E 94.644470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762897491455078 y=0.776508331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762897491455078 × 217)
    floor (0.762897491455078 × 131072)
    floor (99994.5)     		tx = 99994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776508331298828 × 217)
    floor (0.776508331298828 × 131072)
    floor (101778.5)     		ty = 101778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99994 / 101778 ti = "17/99994/101778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99994/101778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99994 ÷ 217
    99994 ÷ 131072     		x = 0.762893676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101778 ÷ 217
    101778 ÷ 131072     		y = 0.776504516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762893676757812 × 2 - 1) × π
    0.525787353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65180969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776504516601562 × 2 - 1) × π
    -0.553009033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73732911603008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65180969} λ = 1.65180969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73732911603008))-π/2
    2×atan(0.175989821847163)-π/2
    2×0.174205914078775-π/2
    0.34841182815755-1.57079632675     		φ = -1.22238450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65180969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.641724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22238450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.037473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99994 KachelY 101778 1.65180969 -1.22238450 94.641724 -70.037473
    Oben rechts KachelX + 1 99995 KachelY 101778 1.65185762 -1.22238450 94.644470 -70.037473
    Unten links KachelX 99994 KachelY + 1 101779 1.65180969 -1.22240086 94.641724 -70.038410
    Unten rechts KachelX + 1 99995 KachelY + 1 101779 1.65185762 -1.22240086 94.644470 -70.038410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22238450--1.22240086) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dl = 104.229560000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22238450--1.22240086) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dr = 104.229560000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65180969-1.65185762) × cos(-1.22238450) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.341405489065992 × 6371000     		do = 104.252273193915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65180969-1.65185762) × cos(-1.22240086) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.34139011199276 × 6371000     		du = 104.247577619618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22238450)-sin(-1.22240086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341405489065992-0.34139011199276)×R²
    abs(1.65185762-1.65180969)×1.53770732317926e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.53770732317926e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.53770732317926e-05×40589641000000     		ar = 10865.9238555701m²