Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99994 / 101738
↖ ↑ ↗
← S 69.999931°
E 94.641724°		 ← 104.44 m → S 69.999931°
E 94.644470°		 →
↑
104.48 m
↓
↑
104.48 m
↓
S 70.000871°
E 94.641724°		 ← 104.44 m →
10 912 m²		 S 70.000871°
E 94.644470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762897491455078 y=0.776203155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762897491455078 × 217)
    floor (0.762897491455078 × 131072)
    floor (99994.5)     		tx = 99994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776203155517578 × 217)
    floor (0.776203155517578 × 131072)
    floor (101738.5)     		ty = 101738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99994 / 101738 ti = "17/99994/101738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99994/101738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99994 ÷ 217
    99994 ÷ 131072     		x = 0.762893676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101738 ÷ 217
    101738 ÷ 131072     		y = 0.776199340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762893676757812 × 2 - 1) × π
    0.525787353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65180969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776199340820312 × 2 - 1) × π
    -0.552398681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73541164004527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65180969} λ = 1.65180969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73541164004527))-π/2
    2×atan(0.176327601843146)-π/2
    2×0.174533527604548-π/2
    0.349067055209096-1.57079632675     		φ = -1.22172927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65180969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.641724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22172927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.999931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99994 KachelY 101738 1.65180969 -1.22172927 94.641724 -69.999931
    Oben rechts KachelX + 1 99995 KachelY 101738 1.65185762 -1.22172927 94.644470 -69.999931
    Unten links KachelX 99994 KachelY + 1 101739 1.65180969 -1.22174567 94.641724 -70.000871
    Unten rechts KachelX + 1 99995 KachelY + 1 101739 1.65185762 -1.22174567 94.644470 -70.000871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22172927--1.22174567) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dl = 104.484400000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22172927--1.22174567) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dr = 104.484400000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65180969-1.65185762) × cos(-1.22172927) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.342021276966868 × 6371000     		do = 104.440311437375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65180969-1.65185762) × cos(-1.22174567) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.342005865968659 × 6371000     		du = 104.435605503678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22172927)-sin(-1.22174567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342021276966868-0.342005865968659)×R²
    abs(1.65185762-1.65180969)×1.54109982083983e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.54109982083983e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.54109982083983e-05×40589641000000     		ar = 10912.1374284528m²