Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99993 / 101797
↖ ↑ ↗
← S 70.055281°
E 94.638977°		 ← 104.18 m → S 70.055281°
E 94.641724°		 →
↑
104.17 m
↓
↑
104.17 m
↓
S 70.056218°
E 94.638977°		 ← 104.18 m →
10 852 m²		 S 70.056218°
E 94.641724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762889862060547 y=0.776653289794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762889862060547 × 217)
    floor (0.762889862060547 × 131072)
    floor (99993.5)     		tx = 99993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776653289794922 × 217)
    floor (0.776653289794922 × 131072)
    floor (101797.5)     		ty = 101797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99993 / 101797 ti = "17/99993/101797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99993/101797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99993 ÷ 217
    99993 ÷ 131072     		x = 0.762886047363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101797 ÷ 217
    101797 ÷ 131072     		y = 0.776649475097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762886047363281 × 2 - 1) × π
    0.525772094726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.65176175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776649475097656 × 2 - 1) × π
    -0.553298950195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.73823991712286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65176175} λ = 1.65176175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73823991712286))-π/2
    2×atan(0.175829603099887)-π/2
    2×0.174050504365237-π/2
    0.348101008730473-1.57079632675     		φ = -1.22269532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65176175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.638977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22269532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.055281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99993 KachelY 101797 1.65176175 -1.22269532 94.638977 -70.055281
    Oben rechts KachelX + 1 99994 KachelY 101797 1.65180969 -1.22269532 94.641724 -70.055281
    Unten links KachelX 99993 KachelY + 1 101798 1.65176175 -1.22271167 94.638977 -70.056218
    Unten rechts KachelX + 1 99994 KachelY + 1 101798 1.65180969 -1.22271167 94.641724 -70.056218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22269532--1.22271167) × R
    1.63500000001093e-05 × 6371000     		dl = 104.165850000697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22269532--1.22271167) × R
    1.63500000001093e-05 × 6371000     		dr = 104.165850000697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65176175-1.65180969) × cos(-1.22269532) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.34111332785425 × 6371000     		do = 104.184790584161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65176175-1.65180969) × cos(-1.22271167) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.341097958446026 × 6371000     		du = 104.180096371281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22269532)-sin(-1.22271167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34111332785425-0.341097958446026)×R²
    abs(1.65180969-1.65176175)×1.53694082244971e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.53694082244971e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.53694082244971e-05×40589641000000     		ar = 10852.2527802605m²