Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99990 / 99898
↖ ↑ ↗
← S 68.198093°
E 94.630737°		 ← 113.43 m → S 68.198093°
E 94.633484°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
S 68.199112°
E 94.630737°		 ← 113.43 m →
12 864 m²		 S 68.199112°
E 94.633484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762866973876953 y=0.762165069580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762866973876953 × 217)
    floor (0.762866973876953 × 131072)
    floor (99990.5)     		tx = 99990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762165069580078 × 217)
    floor (0.762165069580078 × 131072)
    floor (99898.5)     		ty = 99898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99990 / 99898 ti = "17/99990/99898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99990/99898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99990 ÷ 217
    99990 ÷ 131072     		x = 0.762863159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99898 ÷ 217
    99898 ÷ 131072     		y = 0.762161254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762863159179688 × 2 - 1) × π
    0.525726318359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65161794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762161254882812 × 2 - 1) × π
    -0.524322509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64720774474437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65161794} λ = 1.65161794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64720774474437))-π/2
    2×atan(0.192586910361507)-π/2
    2×0.190257534176382-π/2
    0.380515068352763-1.57079632675     		φ = -1.19028126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65161794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.630737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19028126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.198093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99990 KachelY 99898 1.65161794 -1.19028126 94.630737 -68.198093
    Oben rechts KachelX + 1 99991 KachelY 99898 1.65166588 -1.19028126 94.633484 -68.198093
    Unten links KachelX 99990 KachelY + 1 99899 1.65161794 -1.19029906 94.630737 -68.199112
    Unten rechts KachelX + 1 99991 KachelY + 1 99899 1.65166588 -1.19029906 94.633484 -68.199112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19028126--1.19029906) × R
    1.78000000001788e-05 × 6371000     		dl = 113.403800001139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19028126--1.19029906) × R
    1.78000000001788e-05 × 6371000     		dr = 113.403800001139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65161794-1.65166588) × cos(-1.19028126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371398744507764 × 6371000     		do = 113.43473637628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65161794-1.65166588) × cos(-1.19029906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371382217621276 × 6371000     		du = 113.429688639745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19028126)-sin(-1.19029906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371398744507764-0.371382217621276)×R²
    abs(1.65166588-1.65161794)×1.65268864880663e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65268864880663e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65268864880663e-05×40589641000000     		ar = 12863.6439412768m²