Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99982 / 99485
↖ ↑ ↗
← S 67.772909°
E 94.608764°		 ← 115.54 m → S 67.772909°
E 94.611511°		 →
↑
115.51 m
↓
↑
115.51 m
↓
S 67.773947°
E 94.608764°		 ← 115.53 m →
13 345 m²		 S 67.773947°
E 94.611511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762805938720703 y=0.759014129638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762805938720703 × 217)
    floor (0.762805938720703 × 131072)
    floor (99982.5)     		tx = 99982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759014129638672 × 217)
    floor (0.759014129638672 × 131072)
    floor (99485.5)     		ty = 99485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99982 / 99485 ti = "17/99982/99485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99982/99485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99982 ÷ 217
    99982 ÷ 131072     		x = 0.762802124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99485 ÷ 217
    99485 ÷ 131072     		y = 0.759010314941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762802124023438 × 2 - 1) × π
    0.525604248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65123444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759010314941406 × 2 - 1) × π
    -0.518020629882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.62740980520129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65123444} λ = 1.65123444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62740980520129))-π/2
    2×atan(0.196437727715013)-π/2
    2×0.193967963368138-π/2
    0.387935926736276-1.57079632675     		φ = -1.18286040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65123444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.608764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18286040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.772909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99982 KachelY 99485 1.65123444 -1.18286040 94.608764 -67.772909
    Oben rechts KachelX + 1 99983 KachelY 99485 1.65128238 -1.18286040 94.611511 -67.772909
    Unten links KachelX 99982 KachelY + 1 99486 1.65123444 -1.18287853 94.608764 -67.773947
    Unten rechts KachelX + 1 99983 KachelY + 1 99486 1.65128238 -1.18287853 94.611511 -67.773947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18286040--1.18287853) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dl = 115.506229999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18286040--1.18287853) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dr = 115.506229999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65123444-1.65128238) × cos(-1.18286040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378278526594394 × 6371000     		do = 115.535998911127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65123444-1.65128238) × cos(-1.18287853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378261743739424 × 6371000     		du = 115.530872995228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18286040)-sin(-1.18287853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378278526594394-0.378261743739424)×R²
    abs(1.65128238-1.65123444)×1.67828549699212e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67828549699212e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67828549699212e-05×40589641000000     		ar = 13344.8316262146m²