Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99975 / 99468
↖ ↑ ↗
← S 67.755239°
E 94.589539°		 ← 115.60 m → S 67.755239°
E 94.592285°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
S 67.756279°
E 94.589539°		 ← 115.59 m →
13 367 m²		 S 67.756279°
E 94.592285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762752532958984 y=0.758884429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762752532958984 × 217)
    floor (0.762752532958984 × 131072)
    floor (99975.5)     		tx = 99975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758884429931641 × 217)
    floor (0.758884429931641 × 131072)
    floor (99468.5)     		ty = 99468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99975 / 99468 ti = "17/99975/99468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99975/99468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99975 ÷ 217
    99975 ÷ 131072     		x = 0.762748718261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99468 ÷ 217
    99468 ÷ 131072     		y = 0.758880615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762748718261719 × 2 - 1) × π
    0.525497436523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.65089889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758880615234375 × 2 - 1) × π
    -0.51776123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62659487790775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65089889} λ = 1.65089889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62659487790775))-π/2
    2×atan(0.196597875426316)-π/2
    2×0.194122156265668-π/2
    0.388244312531337-1.57079632675     		φ = -1.18255201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65089889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.589539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18255201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.755239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99975 KachelY 99468 1.65089889 -1.18255201 94.589539 -67.755239
    Oben rechts KachelX + 1 99976 KachelY 99468 1.65094682 -1.18255201 94.592285 -67.755239
    Unten links KachelX 99975 KachelY + 1 99469 1.65089889 -1.18257016 94.589539 -67.756279
    Unten rechts KachelX + 1 99976 KachelY + 1 99469 1.65094682 -1.18257016 94.592285 -67.756279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18255201--1.18257016) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dl = 115.633650000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18255201--1.18257016) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dr = 115.633650000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65089889-1.65094682) × cos(-1.18255201) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378563982704047 × 6371000     		do = 115.599066243464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65089889-1.65094682) × cos(-1.18257016) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378547183453186 × 6371000     		du = 115.593936390118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18255201)-sin(-1.18257016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378563982704047-0.378547183453186)×R²
    abs(1.65094682-1.65089889)×1.6799250861621e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6799250861621e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6799250861621e-05×40589641000000     		ar = 13366.8453749277m²