Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99973 / 99464
↖ ↑ ↗
← S 67.751080°
E 94.584045°		 ← 115.64 m → S 67.751080°
E 94.586792°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
S 67.752120°
E 94.584045°		 ← 115.64 m →
13 372 m²		 S 67.752120°
E 94.586792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762737274169922 y=0.758853912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762737274169922 × 217)
    floor (0.762737274169922 × 131072)
    floor (99973.5)     		tx = 99973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758853912353516 × 217)
    floor (0.758853912353516 × 131072)
    floor (99464.5)     		ty = 99464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99973 / 99464 ti = "17/99973/99464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99973/99464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99973 ÷ 217
    99973 ÷ 131072     		x = 0.762733459472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99464 ÷ 217
    99464 ÷ 131072     		y = 0.75885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762733459472656 × 2 - 1) × π
    0.525466918945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.65080301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75885009765625 × 2 - 1) × π
    -0.5177001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62640313030927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65080301} λ = 1.65080301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62640313030927))-π/2
    2×atan(0.196635576211198)-π/2
    2×0.19415845385343-π/2
    0.388316907706861-1.57079632675     		φ = -1.18247942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65080301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.584045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18247942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.751080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99973 KachelY 99464 1.65080301 -1.18247942 94.584045 -67.751080
    Oben rechts KachelX + 1 99974 KachelY 99464 1.65085095 -1.18247942 94.586792 -67.751080
    Unten links KachelX 99973 KachelY + 1 99465 1.65080301 -1.18249757 94.584045 -67.752120
    Unten rechts KachelX + 1 99974 KachelY + 1 99465 1.65085095 -1.18249757 94.586792 -67.752120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18247942--1.18249757) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dl = 115.633650000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18247942--1.18249757) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dr = 115.633650000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65080301-1.65085095) × cos(-1.18247942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378631169204887 × 6371000     		do = 115.643705041392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65080301-1.65085095) × cos(-1.18249757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37861437045282 × 6371000     		du = 115.638574270111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18247942)-sin(-1.18249757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378631169204887-0.37861437045282)×R²
    abs(1.65085095-1.65080301)×1.67987520671709e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67987520671709e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67987520671709e-05×40589641000000     		ar = 13372.007069055m²