Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99973 / 99457
↖ ↑ ↗
← S 67.743800°
E 94.584045°		 ← 115.68 m → S 67.743800°
E 94.586792°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
S 67.744839°
E 94.584045°		 ← 115.67 m →
13 376 m²		 S 67.744839°
E 94.586792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762737274169922 y=0.758800506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762737274169922 × 217)
    floor (0.762737274169922 × 131072)
    floor (99973.5)     		tx = 99973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758800506591797 × 217)
    floor (0.758800506591797 × 131072)
    floor (99457.5)     		ty = 99457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99973 / 99457 ti = "17/99973/99457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99973/99457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99973 ÷ 217
    99973 ÷ 131072     		x = 0.762733459472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99457 ÷ 217
    99457 ÷ 131072     		y = 0.758796691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762733459472656 × 2 - 1) × π
    0.525466918945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.65080301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758796691894531 × 2 - 1) × π
    -0.517593383789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.62606757201192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65080301} λ = 1.65080301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62606757201192))-π/2
    2×atan(0.196701569982107)-π/2
    2×0.194221990134516-π/2
    0.388443980269031-1.57079632675     		φ = -1.18235235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65080301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.584045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18235235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.743800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99973 KachelY 99457 1.65080301 -1.18235235 94.584045 -67.743800
    Oben rechts KachelX + 1 99974 KachelY 99457 1.65085095 -1.18235235 94.586792 -67.743800
    Unten links KachelX 99973 KachelY + 1 99458 1.65080301 -1.18237050 94.584045 -67.744839
    Unten rechts KachelX + 1 99974 KachelY + 1 99458 1.65085095 -1.18237050 94.586792 -67.744839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18235235--1.18237050) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dl = 115.633650000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18235235--1.18237050) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dr = 115.633650000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65080301-1.65085095) × cos(-1.18235235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378748775486608 × 6371000     		do = 115.679625027015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65080301-1.65085095) × cos(-1.18237050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378731977607902 × 6371000     		du = 115.674494522481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18235235)-sin(-1.18237050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378748775486608-0.378731977607902)×R²
    abs(1.65085095-1.65080301)×1.67978787061207e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67978787061207e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67978787061207e-05×40589641000000     		ar = 13376.1606435866m²