Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99971 / 99493
↖ ↑ ↗
← S 67.781219°
E 94.578552°		 ← 115.49 m → S 67.781219°
E 94.581299°		 →
↑
115.51 m
↓
↑
115.51 m
↓
S 67.782258°
E 94.578552°		 ← 115.49 m →
13 340 m²		 S 67.782258°
E 94.581299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762722015380859 y=0.759075164794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762722015380859 × 217)
    floor (0.762722015380859 × 131072)
    floor (99971.5)     		tx = 99971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759075164794922 × 217)
    floor (0.759075164794922 × 131072)
    floor (99493.5)     		ty = 99493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99971 / 99493 ti = "17/99971/99493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99971/99493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99971 ÷ 217
    99971 ÷ 131072     		x = 0.762718200683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99493 ÷ 217
    99493 ÷ 131072     		y = 0.759071350097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762718200683594 × 2 - 1) × π
    0.525436401367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.65070714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759071350097656 × 2 - 1) × π
    -0.518142700195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.62779330039825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65070714} λ = 1.65070714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62779330039825))-π/2
    2×atan(0.196362409232993)-π/2
    2×0.193895442242574-π/2
    0.387790884485148-1.57079632675     		φ = -1.18300544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65070714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.578552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18300544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.781219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99971 KachelY 99493 1.65070714 -1.18300544 94.578552 -67.781219
    Oben rechts KachelX + 1 99972 KachelY 99493 1.65075508 -1.18300544 94.581299 -67.781219
    Unten links KachelX 99971 KachelY + 1 99494 1.65070714 -1.18302357 94.578552 -67.782258
    Unten rechts KachelX + 1 99972 KachelY + 1 99494 1.65075508 -1.18302357 94.581299 -67.782258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18300544--1.18302357) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dl = 115.506229999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18300544--1.18302357) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dr = 115.506229999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65070714-1.65075508) × cos(-1.18300544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378144260273606 × 6371000     		do = 115.494990520743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65070714-1.65075508) × cos(-1.18302357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378127476424123 × 6371000     		du = 115.489864301095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18300544)-sin(-1.18302357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378144260273606-0.378127476424123)×R²
    abs(1.65075508-1.65070714)×1.67838494831152e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67838494831152e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67838494831152e-05×40589641000000     		ar = 13340.0948842171m²