Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99967 / 99467
↖ ↑ ↗
← S 67.754200°
E 94.567566°		 ← 115.63 m → S 67.754200°
E 94.570313°		 →
↑
115.57 m
↓
↑
115.57 m
↓
S 67.755239°
E 94.567566°		 ← 115.62 m →
13 363 m²		 S 67.755239°
E 94.570313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762691497802734 y=0.758876800537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762691497802734 × 217)
    floor (0.762691497802734 × 131072)
    floor (99967.5)     		tx = 99967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758876800537109 × 217)
    floor (0.758876800537109 × 131072)
    floor (99467.5)     		ty = 99467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99967 / 99467 ti = "17/99967/99467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99967/99467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99967 ÷ 217
    99967 ÷ 131072     		x = 0.762687683105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99467 ÷ 217
    99467 ÷ 131072     		y = 0.758872985839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762687683105469 × 2 - 1) × π
    0.525375366210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.65051539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758872985839844 × 2 - 1) × π
    -0.517745971679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.62654694100813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65051539} λ = 1.65051539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62654694100813))-π/2
    2×atan(0.196607299944826)-π/2
    2×0.19413123005869-π/2
    0.388262460117379-1.57079632675     		φ = -1.18253387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65051539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.567566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18253387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.754200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99967 KachelY 99467 1.65051539 -1.18253387 94.567566 -67.754200
    Oben rechts KachelX + 1 99968 KachelY 99467 1.65056333 -1.18253387 94.570313 -67.754200
    Unten links KachelX 99967 KachelY + 1 99468 1.65051539 -1.18255201 94.567566 -67.755239
    Unten rechts KachelX + 1 99968 KachelY + 1 99468 1.65056333 -1.18255201 94.570313 -67.755239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18253387--1.18255201) × R
    1.81399999998888e-05 × 6371000     		dl = 115.569939999292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18253387--1.18255201) × R
    1.81399999998888e-05 × 6371000     		dr = 115.569939999292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65051539-1.65056333) × cos(-1.18253387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378580772574519 × 6371000     		do = 115.628312613268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65051539-1.65056333) × cos(-1.18255201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378563982704047 × 6371000     		du = 115.623184554655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18253387)-sin(-1.18255201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378580772574519-0.378563982704047)×R²
    abs(1.65056333-1.65051539)×1.67898704714342e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67898704714342e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67898704714342e-05×40589641000000     		ar = 13362.8608266127m²