Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99964 / 99709
↖ ↑ ↗
← S 68.004485°
E 94.559326°		 ← 114.39 m → S 68.004485°
E 94.562073°		 →
↑
114.42 m
↓
↑
114.42 m
↓
S 68.005514°
E 94.559326°		 ← 114.39 m →
13 089 m²		 S 68.005514°
E 94.562073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762668609619141 y=0.760723114013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762668609619141 × 217)
    floor (0.762668609619141 × 131072)
    floor (99964.5)     		tx = 99964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760723114013672 × 217)
    floor (0.760723114013672 × 131072)
    floor (99709.5)     		ty = 99709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99964 / 99709 ti = "17/99964/99709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99964/99709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99964 ÷ 217
    99964 ÷ 131072     		x = 0.762664794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99709 ÷ 217
    99709 ÷ 131072     		y = 0.760719299316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762664794921875 × 2 - 1) × π
    0.52532958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65037158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760719299316406 × 2 - 1) × π
    -0.521438598632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.63814767071618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65037158} λ = 1.65037158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63814767071618))-π/2
    2×atan(0.194339690194043)-π/2
    2×0.191947077335393-π/2
    0.383894154670786-1.57079632675     		φ = -1.18690217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65037158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.559326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18690217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.004485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99964 KachelY 99709 1.65037158 -1.18690217 94.559326 -68.004485
    Oben rechts KachelX + 1 99965 KachelY 99709 1.65041952 -1.18690217 94.562073 -68.004485
    Unten links KachelX 99964 KachelY + 1 99710 1.65037158 -1.18692013 94.559326 -68.005514
    Unten rechts KachelX + 1 99965 KachelY + 1 99710 1.65041952 -1.18692013 94.562073 -68.005514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18690217--1.18692013) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dl = 114.423160000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18690217--1.18692013) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dr = 114.423160000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65037158-1.65041952) × cos(-1.18690217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374534013573536 × 6371000     		do = 114.392328250792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65037158-1.65041952) × cos(-1.18692013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374517360764501 × 6371000     		du = 114.38724205427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18690217)-sin(-1.18692013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374534013573536-0.374517360764501)×R²
    abs(1.65041952-1.65037158)×1.6652809034956e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6652809034956e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6652809034956e-05×40589641000000     		ar = 13088.840689373m²