Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99964 / 99708
↖ ↑ ↗
← S 68.003457°
E 94.559326°		 ← 114.40 m → S 68.003457°
E 94.562073°		 →
↑
114.36 m
↓
↑
114.36 m
↓
S 68.004485°
E 94.559326°		 ← 114.39 m →
13 082 m²		 S 68.004485°
E 94.562073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762668609619141 y=0.760715484619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762668609619141 × 217)
    floor (0.762668609619141 × 131072)
    floor (99964.5)     		tx = 99964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760715484619141 × 217)
    floor (0.760715484619141 × 131072)
    floor (99708.5)     		ty = 99708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99964 / 99708 ti = "17/99964/99708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99964/99708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99964 ÷ 217
    99964 ÷ 131072     		x = 0.762664794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99708 ÷ 217
    99708 ÷ 131072     		y = 0.760711669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762664794921875 × 2 - 1) × π
    0.52532958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65037158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760711669921875 × 2 - 1) × π
    -0.52142333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63809973381656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65037158} λ = 1.65037158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63809973381656))-π/2
    2×atan(0.194349006459558)-π/2
    2×0.191956054534558-π/2
    0.383912109069116-1.57079632675     		φ = -1.18688422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65037158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.559326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18688422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.003457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99964 KachelY 99708 1.65037158 -1.18688422 94.559326 -68.003457
    Oben rechts KachelX + 1 99965 KachelY 99708 1.65041952 -1.18688422 94.562073 -68.003457
    Unten links KachelX 99964 KachelY + 1 99709 1.65037158 -1.18690217 94.559326 -68.004485
    Unten rechts KachelX + 1 99965 KachelY + 1 99709 1.65041952 -1.18690217 94.562073 -68.004485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18688422--1.18690217) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dl = 114.359449999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18688422--1.18690217) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dr = 114.359449999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65037158-1.65041952) × cos(-1.18688422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374550656989696 × 6371000     		do = 114.397411578489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65037158-1.65041952) × cos(-1.18690217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374534013573536 × 6371000     		du = 114.392328250792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18688422)-sin(-1.18690217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374550656989696-0.374534013573536)×R²
    abs(1.65041952-1.65037158)×1.66434161599782e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66434161599782e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66434161599782e-05×40589641000000     		ar = 13082.1344065289m²