Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9996 / 10483
↖ ↑ ↗
← S 44.887013°
E 39.638672°		 ← 1 731.02 m → S 44.887013°
E 39.660645°		 →
↑
1 730.81 m
↓
↑
1 730.81 m
↓
S 44.902578°
E 39.638672°		 ← 1 730.55 m →
2 995 656 m²		 S 44.902578°
E 39.660645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610137939453125 y=0.639862060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610137939453125 × 214)
    floor (0.610137939453125 × 16384)
    floor (9996.5)     		tx = 9996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639862060546875 × 214)
    floor (0.639862060546875 × 16384)
    floor (10483.5)     		ty = 10483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9996 / 10483 ti = "14/9996/10483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9996/10483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9996 ÷ 214
    9996 ÷ 16384     		x = 0.610107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10483 ÷ 214
    10483 ÷ 16384     		y = 0.63983154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610107421875 × 2 - 1) × π
    0.22021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69182534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63983154296875 × 2 - 1) × π
    -0.2796630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.878587496236389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69182534} λ = 0.69182534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.878587496236389))-π/2
    2×atan(0.415369208080868)-π/2
    2×0.393685083828084-π/2
    0.787370167656167-1.57079632675     		φ = -0.78342616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69182534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.638672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78342616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.887013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9996 KachelY 10483 0.69182534 -0.78342616 39.638672 -44.887013
    Oben rechts KachelX + 1 9997 KachelY 10483 0.69220883 -0.78342616 39.660645 -44.887013
    Unten links KachelX 9996 KachelY + 1 10484 0.69182534 -0.78369783 39.638672 -44.902578
    Unten rechts KachelX + 1 9997 KachelY + 1 10484 0.69220883 -0.78369783 39.660645 -44.902578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78342616--0.78369783) × R
    0.000271670000000057 × 6371000     		dl = 1730.80957000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78342616--0.78369783) × R
    0.000271670000000057 × 6371000     		dr = 1730.80957000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69182534-0.69220883) × cos(-0.78342616) × R
    0.000383490000000042 × 0.708499822360578 × 6371000     		do = 1731.01724470393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69182534-0.69220883) × cos(-0.78369783) × R
    0.000383490000000042 × 0.708308075712955 × 6371000     		du = 1730.54876645852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78342616)-sin(-0.78369783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708499822360578-0.708308075712955)×R²
    abs(0.69220883-0.69182534)×0.000191746647623225×R²
    0.000383490000000042×0.000191746647623225×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191746647623225×40589641000000     		ar = 2995655.80807756m²