Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99956 / 99724
↖ ↑ ↗
← S 68.019910°
E 94.537353°		 ← 114.32 m → S 68.019910°
E 94.540100°		 →
↑
114.30 m
↓
↑
114.30 m
↓
S 68.020938°
E 94.537353°		 ← 114.31 m →
13 066 m²		 S 68.020938°
E 94.540100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762607574462891 y=0.760837554931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762607574462891 × 217)
    floor (0.762607574462891 × 131072)
    floor (99956.5)     		tx = 99956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760837554931641 × 217)
    floor (0.760837554931641 × 131072)
    floor (99724.5)     		ty = 99724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99956 / 99724 ti = "17/99956/99724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99956/99724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99956 ÷ 217
    99956 ÷ 131072     		x = 0.762603759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99724 ÷ 217
    99724 ÷ 131072     		y = 0.760833740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762603759765625 × 2 - 1) × π
    0.52520751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64998808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760833740234375 × 2 - 1) × π
    -0.52166748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63886672421048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64998808} λ = 1.64998808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63886672421048))-π/2
    2×atan(0.194199999789183)-π/2
    2×0.191812467220467-π/2
    0.383624934440934-1.57079632675     		φ = -1.18717139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64998808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.537353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18717139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.019910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99956 KachelY 99724 1.64998808 -1.18717139 94.537353 -68.019910
    Oben rechts KachelX + 1 99957 KachelY 99724 1.65003602 -1.18717139 94.540100 -68.019910
    Unten links KachelX 99956 KachelY + 1 99725 1.64998808 -1.18718933 94.537353 -68.020938
    Unten rechts KachelX + 1 99957 KachelY + 1 99725 1.65003602 -1.18718933 94.540100 -68.020938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18717139--1.18718933) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dl = 114.295739999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18717139--1.18718933) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dr = 114.295739999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64998808-1.65003602) × cos(-1.18717139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374284375672462 × 6371000     		do = 114.316082410125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64998808-1.65003602) × cos(-1.18718933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374267739599542 × 6371000     		du = 114.311001325242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18717139)-sin(-1.18718933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374284375672462-0.374267739599542)×R²
    abs(1.65003602-1.64998808)×1.66360729207948e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66360729207948e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66360729207948e-05×40589641000000     		ar = 13065.5508600751m²