Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99954 / 100497
↖ ↑ ↗
← S 68.801034°
E 94.531860°		 ← 110.44 m → S 68.801034°
E 94.534607°		 →
↑
110.41 m
↓
↑
110.41 m
↓
S 68.802027°
E 94.531860°		 ← 110.44 m →
12 194 m²		 S 68.802027°
E 94.534607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762592315673828 y=0.766735076904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762592315673828 × 217)
    floor (0.762592315673828 × 131072)
    floor (99954.5)     		tx = 99954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766735076904297 × 217)
    floor (0.766735076904297 × 131072)
    floor (100497.5)     		ty = 100497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99954 / 100497 ti = "17/99954/100497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99954/100497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99954 ÷ 217
    99954 ÷ 131072     		x = 0.762588500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100497 ÷ 217
    100497 ÷ 131072     		y = 0.766731262207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762588500976562 × 2 - 1) × π
    0.525177001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64989221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766731262207031 × 2 - 1) × π
    -0.533462524414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.67592194761678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64989221} λ = 1.64989221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67592194761678))-π/2
    2×atan(0.187135570732618)-π/2
    2×0.184995874345449-π/2
    0.369991748690898-1.57079632675     		φ = -1.20080458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64989221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.531860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20080458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.801034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99954 KachelY 100497 1.64989221 -1.20080458 94.531860 -68.801034
    Oben rechts KachelX + 1 99955 KachelY 100497 1.64994015 -1.20080458 94.534607 -68.801034
    Unten links KachelX 99954 KachelY + 1 100498 1.64989221 -1.20082191 94.531860 -68.802027
    Unten rechts KachelX + 1 99955 KachelY + 1 100498 1.64994015 -1.20082191 94.534607 -68.802027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20080458--1.20082191) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dl = 110.409429999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20080458--1.20082191) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dr = 110.409429999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64989221-1.64994015) × cos(-1.20080458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361607737263839 × 6371000     		do = 110.444310743461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64989221-1.64994015) × cos(-1.20082191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36159157992492 × 6371000     		du = 110.439375876265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20080458)-sin(-1.20082191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361607737263839-0.36159157992492)×R²
    abs(1.64994015-1.64989221)×1.61573389196867e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61573389196867e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61573389196867e-05×40589641000000     		ar = 12193.820968254m²