Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9994 / 10394
↖ ↑ ↗
← S 43.484812°
E 39.594726°		 ← 1 772.74 m → S 43.484812°
E 39.616699°		 →
↑
1 772.48 m
↓
↑
1 772.48 m
↓
S 43.500753°
E 39.594726°		 ← 1 772.27 m →
3 141 720 m²		 S 43.500753°
E 39.616699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610015869140625 y=0.634429931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610015869140625 × 214)
    floor (0.610015869140625 × 16384)
    floor (9994.5)     		tx = 9994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634429931640625 × 214)
    floor (0.634429931640625 × 16384)
    floor (10394.5)     		ty = 10394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9994 / 10394 ti = "14/9994/10394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9994/10394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9994 ÷ 214
    9994 ÷ 16384     		x = 0.6099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10394 ÷ 214
    10394 ÷ 16384     		y = 0.6343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6099853515625 × 2 - 1) × π
    0.219970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69105834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6343994140625 × 2 - 1) × π
    -0.268798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.844456423706909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69105834} λ = 0.69105834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.844456423706909))-π/2
    2×atan(0.429790918880456)-π/2
    2×0.40592159027583-π/2
    0.811843180551659-1.57079632675     		φ = -0.75895315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69105834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.594726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75895315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.484812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9994 KachelY 10394 0.69105834 -0.75895315 39.594726 -43.484812
    Oben rechts KachelX + 1 9995 KachelY 10394 0.69144184 -0.75895315 39.616699 -43.484812
    Unten links KachelX 9994 KachelY + 1 10395 0.69105834 -0.75923136 39.594726 -43.500753
    Unten rechts KachelX + 1 9995 KachelY + 1 10395 0.69144184 -0.75923136 39.616699 -43.500753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75895315--0.75923136) × R
    0.000278210000000056 × 6371000     		dl = 1772.47591000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75895315--0.75923136) × R
    0.000278210000000056 × 6371000     		dr = 1772.47591000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69105834-0.69144184) × cos(-0.75895315) × R
    0.000383499999999981 × 0.725556810851977 × 6371000     		do = 1772.73735648312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69105834-0.69144184) × cos(-0.75923136) × R
    0.000383499999999981 × 0.725365329149086 × 6371000     		du = 1772.2695133553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75895315)-sin(-0.75923136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725556810851977-0.725365329149086)×R²
    abs(0.69144184-0.69105834)×0.000191481702891405×R²
    0.000383499999999981×0.000191481702891405×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191481702891405×40589641000000     		ar = 3141719.65905047m²