Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99939 / 99716
↖ ↑ ↗
← S 68.011685°
E 94.490662°		 ← 114.33 m → S 68.011685°
E 94.493408°		 →
↑
114.36 m
↓
↑
114.36 m
↓
S 68.012713°
E 94.490662°		 ← 114.33 m →
13 075 m²		 S 68.012713°
E 94.493408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762477874755859 y=0.760776519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762477874755859 × 217)
    floor (0.762477874755859 × 131072)
    floor (99939.5)     		tx = 99939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760776519775391 × 217)
    floor (0.760776519775391 × 131072)
    floor (99716.5)     		ty = 99716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99939 / 99716 ti = "17/99939/99716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99939/99716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99939 ÷ 217
    99939 ÷ 131072     		x = 0.762474060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99716 ÷ 217
    99716 ÷ 131072     		y = 0.760772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762474060058594 × 2 - 1) × π
    0.524948120117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.64917316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760772705078125 × 2 - 1) × π
    -0.52154541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63848322901352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64917316} λ = 1.64917316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63848322901352))-π/2
    2×atan(0.194274488838535)-π/2
    2×0.191884248112606-π/2
    0.383768496225212-1.57079632675     		φ = -1.18702783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64917316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.490662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18702783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.011685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99939 KachelY 99716 1.64917316 -1.18702783 94.490662 -68.011685
    Oben rechts KachelX + 1 99940 KachelY 99716 1.64922109 -1.18702783 94.493408 -68.011685
    Unten links KachelX 99939 KachelY + 1 99717 1.64917316 -1.18704578 94.490662 -68.012713
    Unten rechts KachelX + 1 99940 KachelY + 1 99717 1.64922109 -1.18704578 94.493408 -68.012713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18702783--1.18704578) × R
    1.79500000001553e-05 × 6371000     		dl = 114.35945000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18702783--1.18704578) × R
    1.79500000001553e-05 × 6371000     		dr = 114.35945000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64917316-1.64922109) × cos(-1.18702783) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374417497009192 × 6371000     		do = 114.332886954316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64917316-1.64922109) × cos(-1.18704578) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374400852627708 × 6371000     		du = 114.327804392198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18702783)-sin(-1.18704578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374417497009192-0.374400852627708)×R²
    abs(1.64922109-1.64917316)×1.66443814835771e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66443814835771e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66443814835771e-05×40589641000000     		ar = 13074.755449924m²