Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99938 / 99878
↖ ↑ ↗
← S 68.177682°
E 94.487915°		 ← 113.54 m → S 68.177682°
E 94.490662°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 68.178703°
E 94.487915°		 ← 113.53 m →
12 882 m²		 S 68.178703°
E 94.490662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762470245361328 y=0.762012481689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762470245361328 × 217)
    floor (0.762470245361328 × 131072)
    floor (99938.5)     		tx = 99938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762012481689453 × 217)
    floor (0.762012481689453 × 131072)
    floor (99878.5)     		ty = 99878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99938 / 99878 ti = "17/99938/99878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99938/99878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99938 ÷ 217
    99938 ÷ 131072     		x = 0.762466430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99878 ÷ 217
    99878 ÷ 131072     		y = 0.762008666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762466430664062 × 2 - 1) × π
    0.524932861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64912522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762008666992188 × 2 - 1) × π
    -0.524017333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64624900675197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64912522} λ = 1.64912522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64624900675197))-π/2
    2×atan(0.19277163928848)-π/2
    2×0.190435650481146-π/2
    0.380871300962293-1.57079632675     		φ = -1.18992503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64912522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.487915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18992503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.177682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99938 KachelY 99878 1.64912522 -1.18992503 94.487915 -68.177682
    Oben rechts KachelX + 1 99939 KachelY 99878 1.64917316 -1.18992503 94.490662 -68.177682
    Unten links KachelX 99938 KachelY + 1 99879 1.64912522 -1.18994284 94.487915 -68.178703
    Unten rechts KachelX + 1 99939 KachelY + 1 99879 1.64917316 -1.18994284 94.490662 -68.178703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18992503--1.18994284) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dl = 113.467510000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18992503--1.18994284) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dr = 113.467510000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64912522-1.64917316) × cos(-1.18992503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371729471037485 × 6371000     		do = 113.535748771358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64912522-1.64917316) × cos(-1.18994284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371712937223516 × 6371000     		du = 113.530698918992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18992503)-sin(-1.18994284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371729471037485-0.371712937223516)×R²
    abs(1.64917316-1.64912522)×1.65338139689886e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65338139689886e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65338139689886e-05×40589641000000     		ar = 12882.3322122769m²