Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99937 / 100702
↖ ↑ ↗
← S 69.003707°
E 94.485168°		 ← 109.44 m → S 69.003707°
E 94.487915°		 →
↑
109.45 m
↓
↑
109.45 m
↓
S 69.004691°
E 94.485168°		 ← 109.43 m →
11 978 m²		 S 69.004691°
E 94.487915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762462615966797 y=0.768299102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762462615966797 × 217)
    floor (0.762462615966797 × 131072)
    floor (99937.5)     		tx = 99937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768299102783203 × 217)
    floor (0.768299102783203 × 131072)
    floor (100702.5)     		ty = 100702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99937 / 100702 ti = "17/99937/100702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99937/100702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99937 ÷ 217
    99937 ÷ 131072     		x = 0.762458801269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100702 ÷ 217
    100702 ÷ 131072     		y = 0.768295288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762458801269531 × 2 - 1) × π
    0.524917602539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.64907728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768295288085938 × 2 - 1) × π
    -0.536590576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68574901203889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64907728} λ = 1.64907728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68574901203889))-π/2
    2×atan(0.185305583849833)-π/2
    2×0.183227221419141-π/2
    0.366454442838283-1.57079632675     		φ = -1.20434188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64907728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.485168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20434188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.003707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99937 KachelY 100702 1.64907728 -1.20434188 94.485168 -69.003707
    Oben rechts KachelX + 1 99938 KachelY 100702 1.64912522 -1.20434188 94.487915 -69.003707
    Unten links KachelX 99937 KachelY + 1 100703 1.64907728 -1.20435906 94.485168 -69.004691
    Unten rechts KachelX + 1 99938 KachelY + 1 100703 1.64912522 -1.20435906 94.487915 -69.004691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20434188--1.20435906) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dl = 109.453779999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20434188--1.20435906) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dr = 109.453779999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64907728-1.64912522) × cos(-1.20434188) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358307549760397 × 6371000     		do = 109.436348533084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64907728-1.64912522) × cos(-1.20435906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358291510397508 × 6371000     		du = 109.431449698805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20434188)-sin(-1.20435906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358307549760397-0.358291510397508)×R²
    abs(1.64912522-1.64907728)×1.60393628890754e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60393628890754e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60393628890754e-05×40589641000000     		ar = 11977.9539186004m²