Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99928 / 99581
↖ ↑ ↗
← S 67.872438°
E 94.460449°		 ← 115.04 m → S 67.872438°
E 94.463196°		 →
↑
115.06 m
↓
↑
115.06 m
↓
S 67.873473°
E 94.460449°		 ← 115.04 m →
13 237 m²		 S 67.873473°
E 94.463196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762393951416016 y=0.759746551513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762393951416016 × 217)
    floor (0.762393951416016 × 131072)
    floor (99928.5)     		tx = 99928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759746551513672 × 217)
    floor (0.759746551513672 × 131072)
    floor (99581.5)     		ty = 99581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99928 / 99581 ti = "17/99928/99581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99928/99581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99928 ÷ 217
    99928 ÷ 131072     		x = 0.76239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99581 ÷ 217
    99581 ÷ 131072     		y = 0.759742736816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76239013671875 × 2 - 1) × π
    0.5247802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64864585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759742736816406 × 2 - 1) × π
    -0.519485473632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.63201174756481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64864585} λ = 1.64864585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63201174756481))-π/2
    2×atan(0.195535809493607)-π/2
    2×0.193099407147862-π/2
    0.386198814295725-1.57079632675     		φ = -1.18459751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64864585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.460449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18459751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.872438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99928 KachelY 99581 1.64864585 -1.18459751 94.460449 -67.872438
    Oben rechts KachelX + 1 99929 KachelY 99581 1.64869379 -1.18459751 94.463196 -67.872438
    Unten links KachelX 99928 KachelY + 1 99582 1.64864585 -1.18461557 94.460449 -67.873473
    Unten rechts KachelX + 1 99929 KachelY + 1 99582 1.64869379 -1.18461557 94.463196 -67.873473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18459751--1.18461557) × R
    1.8060000000153e-05 × 6371000     		dl = 115.060260000974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18459751--1.18461557) × R
    1.8060000000153e-05 × 6371000     		dr = 115.060260000974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64864585-1.64869379) × cos(-1.18459751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376669928138372 × 6371000     		do = 115.044691537334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64864585-1.64869379) × cos(-1.18461557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376653198240369 × 6371000     		du = 115.039581795856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18459751)-sin(-1.18461557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376669928138372-0.376653198240369)×R²
    abs(1.64869379-1.64864585)×1.6729898003276e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6729898003276e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6729898003276e-05×40589641000000     		ar = 13236.7781563422m²