Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99927 / 99912
↖ ↑ ↗
← S 68.212369°
E 94.457702°		 ← 113.36 m → S 68.212369°
E 94.460449°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
S 68.213388°
E 94.457702°		 ← 113.36 m →
12 848 m²		 S 68.213388°
E 94.460449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762386322021484 y=0.762271881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762386322021484 × 217)
    floor (0.762386322021484 × 131072)
    floor (99927.5)     		tx = 99927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762271881103516 × 217)
    floor (0.762271881103516 × 131072)
    floor (99912.5)     		ty = 99912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99927 / 99912 ti = "17/99927/99912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99927/99912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99927 ÷ 217
    99927 ÷ 131072     		x = 0.762382507324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99912 ÷ 217
    99912 ÷ 131072     		y = 0.76226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762382507324219 × 2 - 1) × π
    0.524765014648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.64859791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76226806640625 × 2 - 1) × π
    -0.5245361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64787886133905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64859791} λ = 1.64859791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64787886133905))-π/2
    2×atan(0.192457705450675)-π/2
    2×0.190132947066859-π/2
    0.380265894133717-1.57079632675     		φ = -1.19053043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64859791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.457702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19053043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.212369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99927 KachelY 99912 1.64859791 -1.19053043 94.457702 -68.212369
    Oben rechts KachelX + 1 99928 KachelY 99912 1.64864585 -1.19053043 94.460449 -68.212369
    Unten links KachelX 99927 KachelY + 1 99913 1.64859791 -1.19054822 94.457702 -68.213388
    Unten rechts KachelX + 1 99928 KachelY + 1 99913 1.64864585 -1.19054822 94.460449 -68.213388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19053043--1.19054822) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19053043--1.19054822) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64859791-1.64864585) × cos(-1.19053043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371167385247963 × 6371000     		do = 113.36407330315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64859791-1.64864585) × cos(-1.19054822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371150866000513 × 6371000     		du = 113.359027899773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19053043)-sin(-1.19054822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371167385247963-0.371150866000513)×R²
    abs(1.64864585-1.64859791)×1.651924744972e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.651924744972e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.651924744972e-05×40589641000000     		ar = 12848.4083481643m²