Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99926 / 99911
↖ ↑ ↗
← S 68.211350°
E 94.454956°		 ← 113.35 m → S 68.211350°
E 94.457702°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
S 68.212369°
E 94.454956°		 ← 113.34 m →
12 846 m²		 S 68.212369°
E 94.457702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762378692626953 y=0.762264251708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762378692626953 × 217)
    floor (0.762378692626953 × 131072)
    floor (99926.5)     		tx = 99926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762264251708984 × 217)
    floor (0.762264251708984 × 131072)
    floor (99911.5)     		ty = 99911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99926 / 99911 ti = "17/99926/99911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99926/99911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99926 ÷ 217
    99926 ÷ 131072     		x = 0.762374877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99911 ÷ 217
    99911 ÷ 131072     		y = 0.762260437011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762374877929688 × 2 - 1) × π
    0.524749755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64854998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762260437011719 × 2 - 1) × π
    -0.524520874023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.64783092443943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64854998} λ = 1.64854998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64783092443943))-π/2
    2×atan(0.192466931497514)-π/2
    2×0.190141843571645-π/2
    0.38028368714329-1.57079632675     		φ = -1.19051264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64854998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.454956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19051264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.211350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99926 KachelY 99911 1.64854998 -1.19051264 94.454956 -68.211350
    Oben rechts KachelX + 1 99927 KachelY 99911 1.64859791 -1.19051264 94.457702 -68.211350
    Unten links KachelX 99926 KachelY + 1 99912 1.64854998 -1.19053043 94.454956 -68.212369
    Unten rechts KachelX + 1 99927 KachelY + 1 99912 1.64859791 -1.19053043 94.457702 -68.212369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19051264--1.19053043) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19051264--1.19053043) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64854998-1.64859791) × cos(-1.19051264) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371183904377944 × 6371000     		do = 113.345470544244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64854998-1.64859791) × cos(-1.19053043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371167385247963 × 6371000     		du = 113.340426229179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19051264)-sin(-1.19053043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371183904377944-0.371167385247963)×R²
    abs(1.64859791-1.64854998)×1.65191299812406e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65191299812406e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65191299812406e-05×40589641000000     		ar = 12846.2999712551m²