Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99925 / 99835
↖ ↑ ↗
← S 68.133737°
E 94.452209°		 ← 113.75 m → S 68.133737°
E 94.454956°		 →
↑
113.72 m
↓
↑
113.72 m
↓
S 68.134760°
E 94.452209°		 ← 113.75 m →
12 936 m²		 S 68.134760°
E 94.454956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762371063232422 y=0.761684417724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762371063232422 × 217)
    floor (0.762371063232422 × 131072)
    floor (99925.5)     		tx = 99925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761684417724609 × 217)
    floor (0.761684417724609 × 131072)
    floor (99835.5)     		ty = 99835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99925 / 99835 ti = "17/99925/99835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99925/99835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99925 ÷ 217
    99925 ÷ 131072     		x = 0.762367248535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99835 ÷ 217
    99835 ÷ 131072     		y = 0.761680603027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762367248535156 × 2 - 1) × π
    0.524734497070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.64850204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761680603027344 × 2 - 1) × π
    -0.523361206054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.64418772006831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64850204} λ = 1.64850204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64418772006831))-π/2
    2×atan(0.193169406717046)-π/2
    2×0.190819137751095-π/2
    0.381638275502189-1.57079632675     		φ = -1.18915805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64850204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.452209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18915805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.133737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99925 KachelY 99835 1.64850204 -1.18915805 94.452209 -68.133737
    Oben rechts KachelX + 1 99926 KachelY 99835 1.64854998 -1.18915805 94.454956 -68.133737
    Unten links KachelX 99925 KachelY + 1 99836 1.64850204 -1.18917590 94.452209 -68.134760
    Unten rechts KachelX + 1 99926 KachelY + 1 99836 1.64854998 -1.18917590 94.454956 -68.134760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18915805--1.18917590) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dl = 113.722349999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18915805--1.18917590) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dr = 113.722349999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64850204-1.64854998) × cos(-1.18915805) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.37244138068908 × 6371000     		do = 113.753184304036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64850204-1.64854998) × cos(-1.18917590) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.372424814835159 × 6371000     		du = 113.748124665844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18915805)-sin(-1.18917590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37244138068908-0.372424814835159)×R²
    abs(1.64854998-1.64850204)×1.65658539209579e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.65658539209579e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.65658539209579e-05×40589641000000     		ar = 12935.9917423293m²