Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99924 / 99913
↖ ↑ ↗
← S 68.213388°
E 94.449463°		 ← 113.36 m → S 68.213388°
E 94.452209°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
S 68.214408°
E 94.449463°		 ← 113.35 m →
12 855 m²		 S 68.214408°
E 94.452209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762363433837891 y=0.762279510498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762363433837891 × 217)
    floor (0.762363433837891 × 131072)
    floor (99924.5)     		tx = 99924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762279510498047 × 217)
    floor (0.762279510498047 × 131072)
    floor (99913.5)     		ty = 99913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99924 / 99913 ti = "17/99924/99913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99924/99913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99924 ÷ 217
    99924 ÷ 131072     		x = 0.762359619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99913 ÷ 217
    99913 ÷ 131072     		y = 0.762275695800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762359619140625 × 2 - 1) × π
    0.52471923828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64845410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762275695800781 × 2 - 1) × π
    -0.524551391601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.64792679823867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64845410} λ = 1.64845410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64792679823867))-π/2
    2×atan(0.192448479846093)-π/2
    2×0.19012405095807-π/2
    0.38024810191614-1.57079632675     		φ = -1.19054822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64845410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.449463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19054822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.213388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99924 KachelY 99913 1.64845410 -1.19054822 94.449463 -68.213388
    Oben rechts KachelX + 1 99925 KachelY 99913 1.64850204 -1.19054822 94.452209 -68.213388
    Unten links KachelX 99924 KachelY + 1 99914 1.64845410 -1.19056602 94.449463 -68.214408
    Unten rechts KachelX + 1 99925 KachelY + 1 99914 1.64850204 -1.19056602 94.452209 -68.214408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19054822--1.19056602) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19054822--1.19056602) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64845410-1.64850204) × cos(-1.19054822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371150866000513 × 6371000     		do = 113.359027899773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64845410-1.64850204) × cos(-1.19056602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371134337349808 × 6371000     		du = 113.353979624401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19054822)-sin(-1.19056602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371150866000513-0.371134337349808)×R²
    abs(1.64850204-1.64845410)×1.65286507048945e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65286507048945e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65286507048945e-05×40589641000000     		ar = 12855.0582816032m²