Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99923 / 99829
↖ ↑ ↗
← S 68.127599°
E 94.446716°		 ← 113.76 m → S 68.127599°
E 94.449463°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
S 68.128622°
E 94.446716°		 ← 113.75 m →
12 944 m²		 S 68.128622°
E 94.449463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762355804443359 y=0.761638641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762355804443359 × 217)
    floor (0.762355804443359 × 131072)
    floor (99923.5)     		tx = 99923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761638641357422 × 217)
    floor (0.761638641357422 × 131072)
    floor (99829.5)     		ty = 99829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99923 / 99829 ti = "17/99923/99829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99923/99829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99923 ÷ 217
    99923 ÷ 131072     		x = 0.762351989746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99829 ÷ 217
    99829 ÷ 131072     		y = 0.761634826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762351989746094 × 2 - 1) × π
    0.524703979492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.64840617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761634826660156 × 2 - 1) × π
    -0.523269653320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.64390009867059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64840617} λ = 1.64840617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64390009867059))-π/2
    2×atan(0.193224974362641)-π/2
    2×0.190872705955188-π/2
    0.381745411910376-1.57079632675     		φ = -1.18905091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64840617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.446716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18905091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.127599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99923 KachelY 99829 1.64840617 -1.18905091 94.446716 -68.127599
    Oben rechts KachelX + 1 99924 KachelY 99829 1.64845410 -1.18905091 94.449463 -68.127599
    Unten links KachelX 99923 KachelY + 1 99830 1.64840617 -1.18906877 94.446716 -68.128622
    Unten rechts KachelX + 1 99924 KachelY + 1 99830 1.64845410 -1.18906877 94.449463 -68.128622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18905091--1.18906877) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18905091--1.18906877) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64840617-1.64845410) × cos(-1.18905091) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372540810441022 × 6371000     		do = 113.759818134185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64840617-1.64845410) × cos(-1.18906877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37252423601923 × 6371000     		du = 113.754756935101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18905091)-sin(-1.18906877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372540810441022-0.37252423601923)×R²
    abs(1.64845410-1.64840617)×1.65744217913155e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65744217913155e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65744217913155e-05×40589641000000     		ar = 12943.9935451331m²