Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99922 / 99587
↖ ↑ ↗
← S 67.878645°
E 94.443970°		 ← 115.01 m → S 67.878645°
E 94.446716°		 →
↑
115 m
↓
↑
115 m
↓
S 67.879679°
E 94.443970°		 ← 115.01 m →
13 226 m²		 S 67.879679°
E 94.446716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762348175048828 y=0.759792327880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762348175048828 × 217)
    floor (0.762348175048828 × 131072)
    floor (99922.5)     		tx = 99922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759792327880859 × 217)
    floor (0.759792327880859 × 131072)
    floor (99587.5)     		ty = 99587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99922 / 99587 ti = "17/99922/99587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99922/99587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99922 ÷ 217
    99922 ÷ 131072     		x = 0.762344360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99587 ÷ 217
    99587 ÷ 131072     		y = 0.759788513183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762344360351562 × 2 - 1) × π
    0.524688720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64835823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759788513183594 × 2 - 1) × π
    -0.519577026367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.63229936896253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64835823} λ = 1.64835823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63229936896253))-π/2
    2×atan(0.195479577297955)-π/2
    2×0.1930452451984-π/2
    0.3860904903968-1.57079632675     		φ = -1.18470584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64835823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.443970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18470584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.878645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99922 KachelY 99587 1.64835823 -1.18470584 94.443970 -67.878645
    Oben rechts KachelX + 1 99923 KachelY 99587 1.64840617 -1.18470584 94.446716 -67.878645
    Unten links KachelX 99922 KachelY + 1 99588 1.64835823 -1.18472389 94.443970 -67.879679
    Unten rechts KachelX + 1 99923 KachelY + 1 99588 1.64840617 -1.18472389 94.446716 -67.879679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18470584--1.18472389) × R
    1.80499999999917e-05 × 6371000     		dl = 114.996549999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18470584--1.18472389) × R
    1.80499999999917e-05 × 6371000     		dr = 114.996549999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64835823-1.64840617) × cos(-1.18470584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376569574699354 × 6371000     		do = 115.01404101396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64835823-1.64840617) × cos(-1.18472389) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376552853328485 × 6371000     		du = 115.008933876889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18470584)-sin(-1.18472389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376569574699354-0.376552853328485)×R²
    abs(1.64840617-1.64835823)×1.67213708692215e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67213708692215e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67213708692215e-05×40589641000000     		ar = 13225.9242669245m²