Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99921 / 99837
↖ ↑ ↗
← S 68.135783°
E 94.441223°		 ← 113.74 m → S 68.135783°
E 94.443970°		 →
↑
113.72 m
↓
↑
113.72 m
↓
S 68.136806°
E 94.441223°		 ← 113.74 m →
12 935 m²		 S 68.136806°
E 94.443970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762340545654297 y=0.761699676513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762340545654297 × 217)
    floor (0.762340545654297 × 131072)
    floor (99921.5)     		tx = 99921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761699676513672 × 217)
    floor (0.761699676513672 × 131072)
    floor (99837.5)     		ty = 99837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99921 / 99837 ti = "17/99921/99837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99921/99837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99921 ÷ 217
    99921 ÷ 131072     		x = 0.762336730957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99837 ÷ 217
    99837 ÷ 131072     		y = 0.761695861816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762336730957031 × 2 - 1) × π
    0.524673461914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.64831029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761695861816406 × 2 - 1) × π
    -0.523391723632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.64428359386755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64831029} λ = 1.64831029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64428359386755))-π/2
    2×atan(0.193150887719884)-π/2
    2×0.190801284860329-π/2
    0.381602569720658-1.57079632675     		φ = -1.18919376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64831029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.441223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18919376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.135783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99921 KachelY 99837 1.64831029 -1.18919376 94.441223 -68.135783
    Oben rechts KachelX + 1 99922 KachelY 99837 1.64835823 -1.18919376 94.443970 -68.135783
    Unten links KachelX 99921 KachelY + 1 99838 1.64831029 -1.18921161 94.441223 -68.136806
    Unten rechts KachelX + 1 99922 KachelY + 1 99838 1.64835823 -1.18921161 94.443970 -68.136806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18919376--1.18921161) × R
    1.7850000000097e-05 × 6371000     		dl = 113.722350000618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18919376--1.18921161) × R
    1.7850000000097e-05 × 6371000     		dr = 113.722350000618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64831029-1.64835823) × cos(-1.18919376) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372408239581884 × 6371000     		do = 113.74306215632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64831029-1.64835823) × cos(-1.18921161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372391673490576 × 6371000     		du = 113.738002445623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18919376)-sin(-1.18921161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372408239581884-0.372391673490576)×R²
    abs(1.64835823-1.64831029)×1.65660913081789e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65660913081789e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65660913081789e-05×40589641000000     		ar = 12934.8406237399m²