Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99920 / 99827
↖ ↑ ↗
← S 68.125553°
E 94.438477°		 ← 113.77 m → S 68.125553°
E 94.441223°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
S 68.126576°
E 94.438477°		 ← 113.76 m →
12 945 m²		 S 68.126576°
E 94.441223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762332916259766 y=0.761623382568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762332916259766 × 217)
    floor (0.762332916259766 × 131072)
    floor (99920.5)     		tx = 99920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761623382568359 × 217)
    floor (0.761623382568359 × 131072)
    floor (99827.5)     		ty = 99827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99920 / 99827 ti = "17/99920/99827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99920/99827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99920 ÷ 217
    99920 ÷ 131072     		x = 0.7623291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99827 ÷ 217
    99827 ÷ 131072     		y = 0.761619567871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7623291015625 × 2 - 1) × π
    0.524658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64826236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761619567871094 × 2 - 1) × π
    -0.523239135742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.64380422487135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64826236} λ = 1.64826236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64380422487135))-π/2
    2×atan(0.193243500463111)-π/2
    2×0.19089056520088-π/2
    0.381781130401759-1.57079632675     		φ = -1.18901520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64826236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.438477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18901520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.125553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99920 KachelY 99827 1.64826236 -1.18901520 94.438477 -68.125553
    Oben rechts KachelX + 1 99921 KachelY 99827 1.64831029 -1.18901520 94.441223 -68.125553
    Unten links KachelX 99920 KachelY + 1 99828 1.64826236 -1.18903306 94.438477 -68.126576
    Unten rechts KachelX + 1 99921 KachelY + 1 99828 1.64831029 -1.18903306 94.441223 -68.126576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18901520--1.18903306) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18901520--1.18903306) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64826236-1.64831029) × cos(-1.18901520) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372573949648075 × 6371000     		do = 113.769937589724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64826236-1.64831029) × cos(-1.18903306) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372557375463888 × 6371000     		du = 113.764876463195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18901520)-sin(-1.18903306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372573949648075-0.372557375463888)×R²
    abs(1.64831029-1.64826236)×1.65741841867129e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65741841867129e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65741841867129e-05×40589641000000     		ar = 12945.1450021823m²