Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99920 / 100465
↖ ↑ ↗
← S 68.769230°
E 94.438477°		 ← 110.58 m → S 68.769230°
E 94.441223°		 →
↑
110.60 m
↓
↑
110.60 m
↓
S 68.770224°
E 94.438477°		 ← 110.57 m →
12 230 m²		 S 68.770224°
E 94.441223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762332916259766 y=0.766490936279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762332916259766 × 217)
    floor (0.762332916259766 × 131072)
    floor (99920.5)     		tx = 99920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766490936279297 × 217)
    floor (0.766490936279297 × 131072)
    floor (100465.5)     		ty = 100465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99920 / 100465 ti = "17/99920/100465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99920/100465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99920 ÷ 217
    99920 ÷ 131072     		x = 0.7623291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100465 ÷ 217
    100465 ÷ 131072     		y = 0.766487121582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7623291015625 × 2 - 1) × π
    0.524658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64826236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766487121582031 × 2 - 1) × π
    -0.532974243164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.67438796682894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64826236} λ = 1.64826236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67438796682894))-π/2
    2×atan(0.187422853389549)-π/2
    2×0.185273422417516-π/2
    0.370546844835032-1.57079632675     		φ = -1.20024948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64826236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.438477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20024948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.769230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99920 KachelY 100465 1.64826236 -1.20024948 94.438477 -68.769230
    Oben rechts KachelX + 1 99921 KachelY 100465 1.64831029 -1.20024948 94.441223 -68.769230
    Unten links KachelX 99920 KachelY + 1 100466 1.64826236 -1.20026684 94.438477 -68.770224
    Unten rechts KachelX + 1 99921 KachelY + 1 100466 1.64831029 -1.20026684 94.441223 -68.770224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20024948--1.20026684) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dl = 110.600559999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20024948--1.20026684) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dr = 110.600559999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64826236-1.64831029) × cos(-1.20024948) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362125218091296 × 6371000     		do = 110.579291710619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64826236-1.64831029) × cos(-1.20026684) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36210903626934 × 6371000     		du = 110.574350396617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20024948)-sin(-1.20026684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362125218091296-0.36210903626934)×R²
    abs(1.64831029-1.64826236)×1.61818219563403e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61818219563403e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61818219563403e-05×40589641000000     		ar = 12229.8583318411m²