Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99914 / 99830
↖ ↑ ↗
← S 68.128622°
E 94.421997°		 ← 113.75 m → S 68.128622°
E 94.424744°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
S 68.129645°
E 94.421997°		 ← 113.75 m →
12 943 m²		 S 68.129645°
E 94.424744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762287139892578 y=0.761646270751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762287139892578 × 217)
    floor (0.762287139892578 × 131072)
    floor (99914.5)     		tx = 99914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761646270751953 × 217)
    floor (0.761646270751953 × 131072)
    floor (99830.5)     		ty = 99830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99914 / 99830 ti = "17/99914/99830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99914/99830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99914 ÷ 217
    99914 ÷ 131072     		x = 0.762283325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99830 ÷ 217
    99830 ÷ 131072     		y = 0.761642456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762283325195312 × 2 - 1) × π
    0.524566650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.64797474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761642456054688 × 2 - 1) × π
    -0.523284912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64394803557021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64797474} λ = 1.64797474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64394803557021))-π/2
    2×atan(0.193215711978448)-π/2
    2×0.190863776928191-π/2
    0.381727553856381-1.57079632675     		φ = -1.18906877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64797474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.421997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18906877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.128622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99914 KachelY 99830 1.64797474 -1.18906877 94.421997 -68.128622
    Oben rechts KachelX + 1 99915 KachelY 99830 1.64802267 -1.18906877 94.424744 -68.128622
    Unten links KachelX 99914 KachelY + 1 99831 1.64797474 -1.18908663 94.421997 -68.129645
    Unten rechts KachelX + 1 99915 KachelY + 1 99831 1.64802267 -1.18908663 94.424744 -68.129645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18906877--1.18908663) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18906877--1.18908663) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64797474-1.64802267) × cos(-1.18906877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37252423601923 × 6371000     		do = 113.754756935101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64797474-1.64802267) × cos(-1.18908663) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372507661478611 × 6371000     		du = 113.749695699731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18906877)-sin(-1.18908663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37252423601923-0.372507661478611)×R²
    abs(1.64802267-1.64797474)×1.65745406189299e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65745406189299e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65745406189299e-05×40589641000000     		ar = 12943.4176492166m²