Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99912 / 99928
↖ ↑ ↗
← S 68.228674°
E 94.416504°		 ← 113.28 m → S 68.228674°
E 94.419251°		 →
↑
113.28 m
↓
↑
113.28 m
↓
S 68.229693°
E 94.416504°		 ← 113.28 m →
12 832 m²		 S 68.229693°
E 94.419251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762271881103516 y=0.762393951416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762271881103516 × 217)
    floor (0.762271881103516 × 131072)
    floor (99912.5)     		tx = 99912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762393951416016 × 217)
    floor (0.762393951416016 × 131072)
    floor (99928.5)     		ty = 99928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99912 / 99928 ti = "17/99912/99928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99912/99928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99912 ÷ 217
    99912 ÷ 131072     		x = 0.76226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99928 ÷ 217
    99928 ÷ 131072     		y = 0.76239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76226806640625 × 2 - 1) × π
    0.5245361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64787886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76239013671875 × 2 - 1) × π
    -0.5247802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64864585173297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64787886} λ = 1.64787886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64864585173297))-π/2
    2×atan(0.192310148833845)-π/2
    2×0.189990656835867-π/2
    0.379981313671734-1.57079632675     		φ = -1.19081501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64787886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.416504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19081501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.228674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99912 KachelY 99928 1.64787886 -1.19081501 94.416504 -68.228674
    Oben rechts KachelX + 1 99913 KachelY 99928 1.64792680 -1.19081501 94.419251 -68.228674
    Unten links KachelX 99912 KachelY + 1 99929 1.64787886 -1.19083279 94.416504 -68.229693
    Unten rechts KachelX + 1 99913 KachelY + 1 99929 1.64792680 -1.19083279 94.419251 -68.229693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19081501--1.19083279) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dl = 113.276380000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19081501--1.19083279) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dr = 113.276380000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64787886-1.64792680) × cos(-1.19081501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370903118916388 × 6371000     		do = 113.283359563271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64787886-1.64792680) × cos(-1.19083279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370886607077329 × 6371000     		du = 113.278316422608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19081501)-sin(-1.19083279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370903118916388-0.370886607077329)×R²
    abs(1.64792680-1.64787886)×1.65118390584862e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65118390584862e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65118390584862e-05×40589641000000     		ar = 12832.043251656m²