Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 999 / 505
↖ ↑ ↗
← N 66.998844°
W  4.394531°		 ← 7 637.58 m → N 66.998844°
W  4.218750°		 →
↑
7 648.39 m
↓
↑
7 648.39 m
↓
N 66.930060°
W  4.394531°		 ← 7 659.18 m →
58 497 767 m²		 N 66.930060°
W  4.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488037109375 y=0.246826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488037109375 × 211)
    floor (0.488037109375 × 2048)
    floor (999.5)     		tx = 999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246826171875 × 211)
    floor (0.246826171875 × 2048)
    floor (505.5)     		ty = 505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 999 / 505 ti = "11/999/505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/999/505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 999 ÷ 211
    999 ÷ 2048     		x = 0.48779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 505 ÷ 211
    505 ÷ 2048     		y = 0.24658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48779296875 × 2 - 1) × π
    -0.0244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.07669904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24658203125 × 2 - 1) × π
    0.5068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.59227205777979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07669904} λ = -0.07669904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59227205777979))-π/2
    2×atan(4.91490319600124)-π/2
    2×1.37007337298715-π/2
    2.74014674597429-1.57079632675     		φ = 1.16935042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07669904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.394531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16935042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.998844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 999 KachelY 505 -0.07669904 1.16935042 -4.394531 66.998844
    Oben rechts KachelX + 1 1000 KachelY 505 -0.07363108 1.16935042 -4.218750 66.998844
    Unten links KachelX 999 KachelY + 1 506 -0.07669904 1.16814992 -4.394531 66.930060
    Unten rechts KachelX + 1 1000 KachelY + 1 506 -0.07363108 1.16814992 -4.218750 66.930060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16935042-1.16814992) × R
    0.00120049999999994 × 6371000     		dl = 7648.3854999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16935042-1.16814992) × R
    0.00120049999999994 × 6371000     		dr = 7648.3854999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07669904--0.07363108) × cos(1.16935042) × R
    0.00306795999999999 × 0.390749703126382 × 6371000     		do = 7637.58320958622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07669904--0.07363108) × cos(1.16814992) × R
    0.00306795999999999 × 0.3918544778977 × 6371000     		du = 7659.17710761424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16935042)-sin(1.16814992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390749703126382-0.3918544778977)×R²
    abs(-0.07363108--0.07669904)×0.00110477477131732×R²
    0.00306795999999999×0.00110477477131732×6371000²
    0.00306795999999999×0.00110477477131732×40589641000000     		ar = 58497766.9291045m²