Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99898 / 99854
↖ ↑ ↗
← S 68.153165°
E 94.378051°		 ← 113.66 m → S 68.153165°
E 94.380798°		 →
↑
113.66 m
↓
↑
113.66 m
↓
S 68.154187°
E 94.378051°		 ← 113.65 m →
12 918 m²		 S 68.154187°
E 94.380798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762165069580078 y=0.761829376220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762165069580078 × 217)
    floor (0.762165069580078 × 131072)
    floor (99898.5)     		tx = 99898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761829376220703 × 217)
    floor (0.761829376220703 × 131072)
    floor (99854.5)     		ty = 99854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99898 / 99854 ti = "17/99898/99854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99898/99854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99898 ÷ 217
    99898 ÷ 131072     		x = 0.762161254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99854 ÷ 217
    99854 ÷ 131072     		y = 0.761825561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762161254882812 × 2 - 1) × π
    0.524322509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.64720774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761825561523438 × 2 - 1) × π
    -0.523651123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64509852116109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64720774} λ = 1.64720774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64509852116109))-π/2
    2×atan(0.192993547908671)-π/2
    2×0.190649599409912-π/2
    0.381299198819824-1.57079632675     		φ = -1.18949713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64720774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.378051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18949713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.153165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99898 KachelY 99854 1.64720774 -1.18949713 94.378051 -68.153165
    Oben rechts KachelX + 1 99899 KachelY 99854 1.64725568 -1.18949713 94.380798 -68.153165
    Unten links KachelX 99898 KachelY + 1 99855 1.64720774 -1.18951497 94.378051 -68.154187
    Unten rechts KachelX + 1 99899 KachelY + 1 99855 1.64725568 -1.18951497 94.380798 -68.154187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18949713--1.18951497) × R
    1.78400000001577e-05 × 6371000     		dl = 113.658640001005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18949713--1.18951497) × R
    1.78400000001577e-05 × 6371000     		dr = 113.658640001005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64720774-1.64725568) × cos(-1.18949713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372126674151072 × 6371000     		do = 113.657064826256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64720774-1.64725568) × cos(-1.18951497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372110115325809 × 6371000     		du = 113.652007334796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18949713)-sin(-1.18951497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372126674151072-0.372110115325809)×R²
    abs(1.64725568-1.64720774)×1.6558825263302e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6558825263302e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6558825263302e-05×40589641000000     		ar = 12917.8200011106m²