Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99894 / 97776
↖ ↑ ↗
← S 65.928554°
E 94.367066°		 ← 124.55 m → S 65.928554°
E 94.369812°		 →
↑
124.55 m
↓
↑
124.55 m
↓
S 65.929674°
E 94.367066°		 ← 124.54 m →
15 513 m²		 S 65.929674°
E 94.369812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762134552001953 y=0.745975494384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762134552001953 × 217)
    floor (0.762134552001953 × 131072)
    floor (99894.5)     		tx = 99894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745975494384766 × 217)
    floor (0.745975494384766 × 131072)
    floor (97776.5)     		ty = 97776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99894 / 97776 ti = "17/99894/97776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99894/97776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99894 ÷ 217
    99894 ÷ 131072     		x = 0.762130737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97776 ÷ 217
    97776 ÷ 131072     		y = 0.7459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762130737304688 × 2 - 1) × π
    0.524261474609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64701600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.491943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54548564375061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64701600} λ = 1.64701600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54548564375061))-π/2
    2×atan(0.21320830279644)-π/2
    2×0.210062995655588-π/2
    0.420125991311176-1.57079632675     		φ = -1.15067034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64701600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.367066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15067034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.928554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99894 KachelY 97776 1.64701600 -1.15067034 94.367066 -65.928554
    Oben rechts KachelX + 1 99895 KachelY 97776 1.64706393 -1.15067034 94.369812 -65.928554
    Unten links KachelX 99894 KachelY + 1 97777 1.64701600 -1.15068989 94.367066 -65.929674
    Unten rechts KachelX + 1 99895 KachelY + 1 97777 1.64706393 -1.15068989 94.369812 -65.929674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15067034--1.15068989) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dl = 124.553049999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15067034--1.15068989) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dr = 124.553049999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64701600-1.64706393) × cos(-1.15067034) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407875486972187 × 6371000     		do = 124.549686689142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64701600-1.64706393) × cos(-1.15068989) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407857637009933 × 6371000     		du = 124.544235988432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15067034)-sin(-1.15068989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407875486972187-0.407857637009933)×R²
    abs(1.64706393-1.64701600)×1.78499622547346e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78499622547346e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78499622547346e-05×40589641000000     		ar = 15512.7039033985m²