Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99893 / 97777
↖ ↑ ↗
← S 65.929674°
E 94.364319°		 ← 124.57 m → S 65.929674°
E 94.367066°		 →
↑
124.55 m
↓
↑
124.55 m
↓
S 65.930794°
E 94.364319°		 ← 124.56 m →
15 515 m²		 S 65.930794°
E 94.367066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762126922607422 y=0.745983123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762126922607422 × 217)
    floor (0.762126922607422 × 131072)
    floor (99893.5)     		tx = 99893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745983123779297 × 217)
    floor (0.745983123779297 × 131072)
    floor (97777.5)     		ty = 97777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99893 / 97777 ti = "17/99893/97777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99893/97777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99893 ÷ 217
    99893 ÷ 131072     		x = 0.762123107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97777 ÷ 217
    97777 ÷ 131072     		y = 0.745979309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762123107910156 × 2 - 1) × π
    0.524246215820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.64696806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745979309082031 × 2 - 1) × π
    -0.491958618164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.54553358065023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64696806} λ = 1.64696806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54553358065023))-π/2
    2×atan(0.213198082496397)-π/2
    2×0.21005321972629-π/2
    0.420106439452581-1.57079632675     		φ = -1.15068989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64696806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.364319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15068989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.929674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99893 KachelY 97777 1.64696806 -1.15068989 94.364319 -65.929674
    Oben rechts KachelX + 1 99894 KachelY 97777 1.64701600 -1.15068989 94.367066 -65.929674
    Unten links KachelX 99893 KachelY + 1 97778 1.64696806 -1.15070944 94.364319 -65.930794
    Unten rechts KachelX + 1 99894 KachelY + 1 97778 1.64701600 -1.15070944 94.367066 -65.930794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15068989--1.15070944) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dl = 124.553049999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15068989--1.15070944) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dr = 124.553049999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64696806-1.64701600) × cos(-1.15068989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407857637009933 × 6371000     		do = 124.570220598328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64696806-1.64701600) × cos(-1.15070944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407839786891794 × 6371000     		du = 124.564768712787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15068989)-sin(-1.15070944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407857637009933-0.407839786891794)×R²
    abs(1.64701600-1.64696806)×1.7850118138929e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7850118138929e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7850118138929e-05×40589641000000     		ar = 15515.26139082m²