Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9989 / 17659
↖ ↑ ↗
← N 63.560784°
W125.128784°		 ← 271.95 m → N 63.560784°
W125.123291°		 →
↑
271.98 m
↓
↑
271.98 m
↓
N 63.558338°
W125.128784°		 ← 271.98 m →
73 968 m²		 N 63.558338°
W125.123291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152427673339844 y=0.269462585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152427673339844 × 216)
    floor (0.152427673339844 × 65536)
    floor (9989.5)     		tx = 9989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269462585449219 × 216)
    floor (0.269462585449219 × 65536)
    floor (17659.5)     		ty = 17659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9989 / 17659 ti = "16/9989/17659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9989/17659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9989 ÷ 216
    9989 ÷ 65536     		x = 0.152420043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17659 ÷ 216
    17659 ÷ 65536     		y = 0.269454956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.152420043945312 × 2 - 1) × π
    -0.695159912109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.18390927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269454956054688 × 2 - 1) × π
    0.461090087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.44855723271886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18390927} λ = -2.18390927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44855723271886))-π/2
    2×atan(4.25696826789895)-π/2
    2×1.34007064103447-π/2
    2.68014128206895-1.57079632675     		φ = 1.10934496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18390927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -125.128784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10934496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.560784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9989 KachelY 17659 -2.18390927 1.10934496 -125.128784 63.560784
    Oben rechts KachelX + 1 9990 KachelY 17659 -2.18381340 1.10934496 -125.123291 63.560784
    Unten links KachelX 9989 KachelY + 1 17660 -2.18390927 1.10930227 -125.128784 63.558338
    Unten rechts KachelX + 1 9990 KachelY + 1 17660 -2.18381340 1.10930227 -125.123291 63.558338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10934496-1.10930227) × R
    4.26900000001229e-05 × 6371000     		dl = 271.977990000783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10934496-1.10930227) × R
    4.26900000001229e-05 × 6371000     		dr = 271.977990000783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18390927--2.18381340) × cos(1.10934496) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445248139769716 × 6371000     		do = 271.952118386587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18390927--2.18381340) × cos(1.10930227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445286364298313 × 6371000     		du = 271.975465461168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10934496)-sin(1.10930227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445248139769716-0.445286364298313)×R²
    abs(-2.18381340--2.18390927)×3.82245285971416e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82245285971416e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82245285971416e-05×40589641000000     		ar = 73968.1654916889m²