Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9989 / 10511
↖ ↑ ↗
← S 45.321254°
E 39.484863°		 ← 1 717.90 m → S 45.321254°
E 39.506836°		 →
↑
1 717.69 m
↓
↑
1 717.69 m
↓
S 45.336702°
E 39.484863°		 ← 1 717.43 m →
2 950 409 m²		 S 45.336702°
E 39.506836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609710693359375 y=0.641571044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609710693359375 × 214)
    floor (0.609710693359375 × 16384)
    floor (9989.5)     		tx = 9989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641571044921875 × 214)
    floor (0.641571044921875 × 16384)
    floor (10511.5)     		ty = 10511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9989 / 10511 ti = "14/9989/10511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9989/10511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9989 ÷ 214
    9989 ÷ 16384     		x = 0.60968017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10511 ÷ 214
    10511 ÷ 16384     		y = 0.64154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60968017578125 × 2 - 1) × π
    0.2193603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68914087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.2830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.889325361751282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68914087} λ = 0.68914087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889325361751282))-π/2
    2×atan(0.410932890303493)-π/2
    2×0.389895608538244-π/2
    0.779791217076488-1.57079632675     		φ = -0.79100511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68914087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.484863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79100511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.321254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9989 KachelY 10511 0.68914087 -0.79100511 39.484863 -45.321254
    Oben rechts KachelX + 1 9990 KachelY 10511 0.68952436 -0.79100511 39.506836 -45.321254
    Unten links KachelX 9989 KachelY + 1 10512 0.68914087 -0.79127472 39.484863 -45.336702
    Unten rechts KachelX + 1 9990 KachelY + 1 10512 0.68952436 -0.79127472 39.506836 -45.336702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79100511--0.79127472) × R
    0.000269610000000031 × 6371000     		dl = 1717.6853100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79100511--0.79127472) × R
    0.000269610000000031 × 6371000     		dr = 1717.6853100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68914087-0.68952436) × cos(-0.79100511) × R
    0.000383489999999931 × 0.703130977066346 × 6371000     		do = 1717.90000247534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68914087-0.68952436) × cos(-0.79127472) × R
    0.000383489999999931 × 0.702939242531099 × 6371000     		du = 1717.43155382307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79100511)-sin(-0.79127472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703130977066346-0.702939242531099)×R²
    abs(0.68952436-0.68914087)×0.000191734535247456×R²
    0.000383489999999931×0.000191734535247456×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191734535247456×40589641000000     		ar = 2950409.29248728m²