Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99888 / 97775
↖ ↑ ↗
← S 65.927433°
E 94.350586°		 ← 124.56 m → S 65.927433°
E 94.353332°		 →
↑
124.62 m
↓
↑
124.62 m
↓
S 65.928554°
E 94.350586°		 ← 124.55 m →
15 521 m²		 S 65.928554°
E 94.353332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762088775634766 y=0.745967864990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762088775634766 × 217)
    floor (0.762088775634766 × 131072)
    floor (99888.5)     		tx = 99888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745967864990234 × 217)
    floor (0.745967864990234 × 131072)
    floor (97775.5)     		ty = 97775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99888 / 97775 ti = "17/99888/97775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99888/97775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99888 ÷ 217
    99888 ÷ 131072     		x = 0.7620849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97775 ÷ 217
    97775 ÷ 131072     		y = 0.745964050292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7620849609375 × 2 - 1) × π
    0.524169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.64672838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745964050292969 × 2 - 1) × π
    -0.491928100585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.54543770685099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64672838} λ = 1.64672838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54543770685099))-π/2
    2×atan(0.213218523586424)-π/2
    2×0.21007277201277-π/2
    0.420145544025539-1.57079632675     		φ = -1.15065078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64672838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.350586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15065078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.927433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99888 KachelY 97775 1.64672838 -1.15065078 94.350586 -65.927433
    Oben rechts KachelX + 1 99889 KachelY 97775 1.64677631 -1.15065078 94.353332 -65.927433
    Unten links KachelX 99888 KachelY + 1 97776 1.64672838 -1.15067034 94.350586 -65.928554
    Unten rechts KachelX + 1 99889 KachelY + 1 97776 1.64677631 -1.15067034 94.353332 -65.928554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15065078--1.15067034) × R
    1.95599999999185e-05 × 6371000     		dl = 124.616759999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15065078--1.15067034) × R
    1.95599999999185e-05 × 6371000     		dr = 124.616759999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64672838-1.64677631) × cos(-1.15065078) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.407893345908847 × 6371000     		do = 124.555140129717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64672838-1.64677631) × cos(-1.15067034) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.407875486972187 × 6371000     		du = 124.549686688565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15065078)-sin(-1.15067034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407893345908847-0.407875486972187)×R²
    abs(1.64677631-1.64672838)×1.78589366595094e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.78589366595094e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.78589366595094e-05×40589641000000     		ar = 15521.3182097709m²