Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99882 / 97802
↖ ↑ ↗
← S 65.957664°
E 94.334106°		 ← 124.43 m → S 65.957664°
E 94.336853°		 →
↑
124.43 m
↓
↑
124.43 m
↓
S 65.958783°
E 94.334106°		 ← 124.43 m →
15 482 m²		 S 65.958783°
E 94.336853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762042999267578 y=0.746173858642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762042999267578 × 217)
    floor (0.762042999267578 × 131072)
    floor (99882.5)     		tx = 99882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746173858642578 × 217)
    floor (0.746173858642578 × 131072)
    floor (97802.5)     		ty = 97802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99882 / 97802 ti = "17/99882/97802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99882/97802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99882 ÷ 217
    99882 ÷ 131072     		x = 0.762039184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97802 ÷ 217
    97802 ÷ 131072     		y = 0.746170043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762039184570312 × 2 - 1) × π
    0.524078369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.64644075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746170043945312 × 2 - 1) × π
    -0.492340087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54673200314073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64644075} λ = 1.64644075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54673200314073))-π/2
    2×atan(0.212942734157559)-π/2
    2×0.209808960512336-π/2
    0.419617921024672-1.57079632675     		φ = -1.15117841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64644075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.334106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15117841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.957664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99882 KachelY 97802 1.64644075 -1.15117841 94.334106 -65.957664
    Oben rechts KachelX + 1 99883 KachelY 97802 1.64648869 -1.15117841 94.336853 -65.957664
    Unten links KachelX 99882 KachelY + 1 97803 1.64644075 -1.15119794 94.334106 -65.958783
    Unten rechts KachelX + 1 99883 KachelY + 1 97803 1.64648869 -1.15119794 94.336853 -65.958783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15117841--1.15119794) × R
    1.95300000001009e-05 × 6371000     		dl = 124.425630000643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15117841--1.15119794) × R
    1.95300000001009e-05 × 6371000     		dr = 124.425630000643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64644075-1.64648869) × cos(-1.15117841) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40741154735522 × 6371000     		do = 124.433973335432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64644075-1.64648869) × cos(-1.15119794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407393711609078 × 6371000     		du = 124.428525839468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15117841)-sin(-1.15119794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40741154735522-0.407393711609078)×R²
    abs(1.64648869-1.64644075)×1.78357461422807e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78357461422807e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78357461422807e-05×40589641000000     		ar = 15482.4366221421m²