Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99881 / 97801
↖ ↑ ↗
← S 65.956545°
E 94.331360°		 ← 124.41 m → S 65.956545°
E 94.334106°		 →
↑
124.43 m
↓
↑
124.43 m
↓
S 65.957664°
E 94.331360°		 ← 124.41 m →
15 480 m²		 S 65.957664°
E 94.334106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762035369873047 y=0.746166229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762035369873047 × 217)
    floor (0.762035369873047 × 131072)
    floor (99881.5)     		tx = 99881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746166229248047 × 217)
    floor (0.746166229248047 × 131072)
    floor (97801.5)     		ty = 97801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99881 / 97801 ti = "17/99881/97801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99881/97801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99881 ÷ 217
    99881 ÷ 131072     		x = 0.762031555175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97801 ÷ 217
    97801 ÷ 131072     		y = 0.746162414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762031555175781 × 2 - 1) × π
    0.524063110351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.64639282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746162414550781 × 2 - 1) × π
    -0.492324829101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.54668406624111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64639282} λ = 1.64639282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54668406624111))-π/2
    2×atan(0.212952942216701)-π/2
    2×0.209818725749403-π/2
    0.419637451498806-1.57079632675     		φ = -1.15115888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64639282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.331360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15115888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.956545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99881 KachelY 97801 1.64639282 -1.15115888 94.331360 -65.956545
    Oben rechts KachelX + 1 99882 KachelY 97801 1.64644075 -1.15115888 94.334106 -65.956545
    Unten links KachelX 99881 KachelY + 1 97802 1.64639282 -1.15117841 94.331360 -65.957664
    Unten rechts KachelX + 1 99882 KachelY + 1 97802 1.64644075 -1.15117841 94.334106 -65.957664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15115888--1.15117841) × R
    1.95299999998788e-05 × 6371000     		dl = 124.425629999228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15115888--1.15117841) × R
    1.95299999998788e-05 × 6371000     		dr = 124.425629999228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64639282-1.64644075) × cos(-1.15115888) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407429382945967 × 6371000     		do = 124.413463458104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64639282-1.64644075) × cos(-1.15117841) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.40741154735522 × 6371000     		du = 124.408017145907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15115888)-sin(-1.15117841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407429382945967-0.40741154735522)×R²
    abs(1.64644075-1.64639282)×1.78355907468619e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78355907468619e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78355907468619e-05×40589641000000     		ar = 15479.8847411286m²