Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9988 / 10517
↖ ↑ ↗
← S 45.413876°
E 39.462890°		 ← 1 715.13 m → S 45.413876°
E 39.484863°		 →
↑
1 714.88 m
↓
↑
1 714.88 m
↓
S 45.429299°
E 39.462890°		 ← 1 714.67 m →
2 940 851 m²		 S 45.429299°
E 39.484863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609649658203125 y=0.641937255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609649658203125 × 214)
    floor (0.609649658203125 × 16384)
    floor (9988.5)     		tx = 9988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641937255859375 × 214)
    floor (0.641937255859375 × 16384)
    floor (10517.5)     		ty = 10517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9988 / 10517 ti = "14/9988/10517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9988/10517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9988 ÷ 214
    9988 ÷ 16384     		x = 0.609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10517 ÷ 214
    10517 ÷ 16384     		y = 0.64190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609619140625 × 2 - 1) × π
    0.21923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68875737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64190673828125 × 2 - 1) × π
    -0.2838134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.891626332933044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68875737} λ = 0.68875737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891626332933044))-π/2
    2×atan(0.409988432566984)-π/2
    2×0.389087328238754-π/2
    0.778174656477509-1.57079632675     		φ = -0.79262167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68875737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.462890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79262167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.413876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9988 KachelY 10517 0.68875737 -0.79262167 39.462890 -45.413876
    Oben rechts KachelX + 1 9989 KachelY 10517 0.68914087 -0.79262167 39.484863 -45.413876
    Unten links KachelX 9988 KachelY + 1 10518 0.68875737 -0.79289084 39.462890 -45.429299
    Unten rechts KachelX + 1 9989 KachelY + 1 10518 0.68914087 -0.79289084 39.484863 -45.429299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79262167--0.79289084) × R
    0.000269170000000041 × 6371000     		dl = 1714.88207000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79262167--0.79289084) × R
    0.000269170000000041 × 6371000     		dr = 1714.88207000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68875737-0.68914087) × cos(-0.79262167) × R
    0.000383499999999981 × 0.701980587104769 × 6371000     		do = 1715.13407589037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68875737-0.68914087) × cos(-0.79289084) × R
    0.000383499999999981 × 0.701788859858306 × 6371000     		du = 1714.66563283123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79262167)-sin(-0.79289084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701980587104769-0.701788859858306)×R²
    abs(0.68914087-0.68875737)×0.000191727246462547×R²
    0.000383499999999981×0.000191727246462547×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191727246462547×40589641000000     		ar = 2940851.02984601m²