Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99874 / 100706
↖ ↑ ↗
← S 69.007643°
E 94.312134°		 ← 109.42 m → S 69.007643°
E 94.314881°		 →
↑
109.45 m
↓
↑
109.45 m
↓
S 69.008627°
E 94.312134°		 ← 109.41 m →
11 976 m²		 S 69.008627°
E 94.314881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761981964111328 y=0.768329620361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761981964111328 × 217)
    floor (0.761981964111328 × 131072)
    floor (99874.5)     		tx = 99874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768329620361328 × 217)
    floor (0.768329620361328 × 131072)
    floor (100706.5)     		ty = 100706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99874 / 100706 ti = "17/99874/100706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99874/100706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99874 ÷ 217
    99874 ÷ 131072     		x = 0.761978149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100706 ÷ 217
    100706 ÷ 131072     		y = 0.768325805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.761978149414062 × 2 - 1) × π
    0.523956298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64605726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768325805664062 × 2 - 1) × π
    -0.536651611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68594075963737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64605726} λ = 1.64605726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68594075963737))-π/2
    2×atan(0.185270055355505)-π/2
    2×0.183192872188057-π/2
    0.366385744376115-1.57079632675     		φ = -1.20441058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64605726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.312134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20441058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.007643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99874 KachelY 100706 1.64605726 -1.20441058 94.312134 -69.007643
    Oben rechts KachelX + 1 99875 KachelY 100706 1.64610520 -1.20441058 94.314881 -69.007643
    Unten links KachelX 99874 KachelY + 1 100707 1.64605726 -1.20442776 94.312134 -69.008627
    Unten rechts KachelX + 1 99875 KachelY + 1 100707 1.64610520 -1.20442776 94.314881 -69.008627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20441058--1.20442776) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dl = 109.453779999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20441058--1.20442776) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dr = 109.453779999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64605726-1.64610520) × cos(-1.20441058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35824341034692 × 6371000     		do = 109.41675870526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64605726-1.64610520) × cos(-1.20442776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35822737056118 × 6371000     		du = 109.411859741831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20441058)-sin(-1.20442776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35824341034692-0.35822737056118)×R²
    abs(1.64610520-1.64605726)×1.60397857399963e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60397857399963e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60397857399963e-05×40589641000000     		ar = 11975.8097307835m²