Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99873 / 97751
↖ ↑ ↗
← S 65.900532°
E 94.309387°		 ← 124.71 m → S 65.900532°
E 94.312134°		 →
↑
124.68 m
↓
↑
124.68 m
↓
S 65.901653°
E 94.309387°		 ← 124.71 m →
15 549 m²		 S 65.901653°
E 94.312134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761974334716797 y=0.745784759521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761974334716797 × 217)
    floor (0.761974334716797 × 131072)
    floor (99873.5)     		tx = 99873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745784759521484 × 217)
    floor (0.745784759521484 × 131072)
    floor (97751.5)     		ty = 97751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99873 / 97751 ti = "17/99873/97751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99873/97751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99873 ÷ 217
    99873 ÷ 131072     		x = 0.761970520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97751 ÷ 217
    97751 ÷ 131072     		y = 0.745780944824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.761970520019531 × 2 - 1) × π
    0.523941040039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.64600932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745780944824219 × 2 - 1) × π
    -0.491561889648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.54428722126011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64600932} λ = 1.64600932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54428722126011))-π/2
    2×atan(0.213463969589491)-π/2
    2×0.210307532989331-π/2
    0.420615065978662-1.57079632675     		φ = -1.15018126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64600932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.309387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15018126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.900532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99873 KachelY 97751 1.64600932 -1.15018126 94.309387 -65.900532
    Oben rechts KachelX + 1 99874 KachelY 97751 1.64605726 -1.15018126 94.312134 -65.900532
    Unten links KachelX 99873 KachelY + 1 97752 1.64600932 -1.15020083 94.309387 -65.901653
    Unten rechts KachelX + 1 99874 KachelY + 1 97752 1.64605726 -1.15020083 94.312134 -65.901653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15018126--1.15020083) × R
    1.95699999998578e-05 × 6371000     		dl = 124.680469999094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15018126--1.15020083) × R
    1.95699999998578e-05 × 6371000     		dr = 124.680469999094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64600932-1.64605726) × cos(-1.15018126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408321986582786 × 6371000     		do = 124.712044910236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64600932-1.64605726) × cos(-1.15020083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408304122265569 × 6371000     		du = 124.70658868793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15018126)-sin(-1.15020083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408321986582786-0.408304122265569)×R²
    abs(1.64605726-1.64600932)×1.78643172171755e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78643172171755e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78643172171755e-05×40589641000000     		ar = 15548.8162322731m²