Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99871 / 97750
↖ ↑ ↗
← S 65.899411°
E 94.303894°		 ← 124.72 m → S 65.899411°
E 94.306641°		 →
↑
124.68 m
↓
↑
124.68 m
↓
S 65.900532°
E 94.303894°		 ← 124.71 m →
15 549 m²		 S 65.900532°
E 94.306641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761959075927734 y=0.745777130126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761959075927734 × 217)
    floor (0.761959075927734 × 131072)
    floor (99871.5)     		tx = 99871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745777130126953 × 217)
    floor (0.745777130126953 × 131072)
    floor (97750.5)     		ty = 97750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99871 / 97750 ti = "17/99871/97750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99871/97750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99871 ÷ 217
    99871 ÷ 131072     		x = 0.761955261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97750 ÷ 217
    97750 ÷ 131072     		y = 0.745773315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.761955261230469 × 2 - 1) × π
    0.523910522460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.64591345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745773315429688 × 2 - 1) × π
    -0.491546630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54423928436049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64591345} λ = 1.64591345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54423928436049))-π/2
    2×atan(0.213474202635642)-π/2
    2×0.210317320048487-π/2
    0.420634640096974-1.57079632675     		φ = -1.15016169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64591345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.303894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15016169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.899411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99871 KachelY 97750 1.64591345 -1.15016169 94.303894 -65.899411
    Oben rechts KachelX + 1 99872 KachelY 97750 1.64596139 -1.15016169 94.306641 -65.899411
    Unten links KachelX 99871 KachelY + 1 97751 1.64591345 -1.15018126 94.303894 -65.900532
    Unten rechts KachelX + 1 99872 KachelY + 1 97751 1.64596139 -1.15018126 94.306641 -65.900532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15016169--1.15018126) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dl = 124.680470000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15016169--1.15018126) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dr = 124.680470000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64591345-1.64596139) × cos(-1.15016169) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.408339850743622 × 6371000     		do = 124.717501085356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64591345-1.64596139) × cos(-1.15018126) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.408321986582786 × 6371000     		du = 124.712044910813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15016169)-sin(-1.15018126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408339850743622-0.408321986582786)×R²
    abs(1.64596139-1.64591345)×1.78641608362118e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.78641608362118e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.78641608362118e-05×40589641000000     		ar = 15549.4965138799m²