Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99862 / 97719
↖ ↑ ↗
← S 65.864619°
E 94.279175°		 ← 124.86 m → S 65.864619°
E 94.281921°		 →
↑
124.87 m
↓
↑
124.87 m
↓
S 65.865742°
E 94.279175°		 ← 124.86 m →
15 591 m²		 S 65.865742°
E 94.281921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761890411376953 y=0.745540618896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761890411376953 × 217)
    floor (0.761890411376953 × 131072)
    floor (99862.5)     		tx = 99862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745540618896484 × 217)
    floor (0.745540618896484 × 131072)
    floor (97719.5)     		ty = 97719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99862 / 97719 ti = "17/99862/97719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99862/97719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99862 ÷ 217
    99862 ÷ 131072     		x = 0.761886596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97719 ÷ 217
    97719 ÷ 131072     		y = 0.745536804199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.761886596679688 × 2 - 1) × π
    0.523773193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64548202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745536804199219 × 2 - 1) × π
    -0.491073608398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.54275324047227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64548202} λ = 1.64548202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54275324047227))-π/2
    2×atan(0.213791670496926)-π/2
    2×0.210620931380495-π/2
    0.421241862760991-1.57079632675     		φ = -1.14955446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64548202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.279175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14955446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.864619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99862 KachelY 97719 1.64548202 -1.14955446 94.279175 -65.864619
    Oben rechts KachelX + 1 99863 KachelY 97719 1.64552995 -1.14955446 94.281921 -65.864619
    Unten links KachelX 99862 KachelY + 1 97720 1.64548202 -1.14957406 94.279175 -65.865742
    Unten rechts KachelX + 1 99863 KachelY + 1 97720 1.64552995 -1.14957406 94.281921 -65.865742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14955446--1.14957406) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dl = 124.871599999347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14955446--1.14957406) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dr = 124.871599999347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64548202-1.64552995) × cos(-1.14955446) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408894073173065 × 6371000     		do = 124.860724239172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64548202-1.64552995) × cos(-1.14957406) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408876186490223 × 6371000     		du = 124.85526232539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14955446)-sin(-1.14957406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408894073173065-0.408876186490223)×R²
    abs(1.64552995-1.64548202)×1.78866828418056e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78866828418056e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78866828418056e-05×40589641000000     		ar = 15591.2173943348m²