Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9986 / 10506
↖ ↑ ↗
← S 45.243953°
E 39.418945°		 ← 1 720.29 m → S 45.243953°
E 39.440918°		 →
↑
1 720.04 m
↓
↑
1 720.04 m
↓
S 45.259422°
E 39.418945°		 ← 1 719.82 m →
2 958 564 m²		 S 45.259422°
E 39.440918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609527587890625 y=0.641265869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609527587890625 × 214)
    floor (0.609527587890625 × 16384)
    floor (9986.5)     		tx = 9986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641265869140625 × 214)
    floor (0.641265869140625 × 16384)
    floor (10506.5)     		ty = 10506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9986 / 10506 ti = "14/9986/10506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9986/10506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9986 ÷ 214
    9986 ÷ 16384     		x = 0.6094970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10506 ÷ 214
    10506 ÷ 16384     		y = 0.6412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6094970703125 × 2 - 1) × π
    0.218994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68799038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.88740788576648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68799038} λ = 0.68799038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88740788576648))-π/2
    2×atan(0.411721600176481)-π/2
    2×0.390570186484511-π/2
    0.781140372969022-1.57079632675     		φ = -0.78965595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68799038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.418945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78965595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.243953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9986 KachelY 10506 0.68799038 -0.78965595 39.418945 -45.243953
    Oben rechts KachelX + 1 9987 KachelY 10506 0.68837388 -0.78965595 39.440918 -45.243953
    Unten links KachelX 9986 KachelY + 1 10507 0.68799038 -0.78992593 39.418945 -45.259422
    Unten rechts KachelX + 1 9987 KachelY + 1 10507 0.68837388 -0.78992593 39.440918 -45.259422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78965595--0.78992593) × R
    0.000269980000000003 × 6371000     		dl = 1720.04258000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78965595--0.78992593) × R
    0.000269980000000003 × 6371000     		dr = 1720.04258000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68799038-0.68837388) × cos(-0.78965595) × R
    0.000383499999999981 × 0.704089671033564 × 6371000     		do = 1720.28715530829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68799038-0.68837388) × cos(-0.78992593) × R
    0.000383499999999981 × 0.7038979295883 × 6371000     		du = 1719.81867755752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78965595)-sin(-0.78992593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704089671033564-0.7038979295883)×R²
    abs(0.68837388-0.68799038)×0.000191741445263682×R²
    0.000383499999999981×0.000191741445263682×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191741445263682×40589641000000     		ar = 2958564.27408901m²